结论：在刑事案件立案一个月后迟迟不抓人的情况下，可以写催办函，但需根据具体情况和程序要求来操作。以下是对此问题的详细分析：
一、催办函的法律依据与合理性
法律依据：
- 虽然直接的法律法规并未明确规定在立案后多久必须抓人或必须发出催办函，但根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，公安机关在立案后，应当及时进行侦查，收集、调取犯罪嫌疑人有罪或者无罪、罪轻或者罪重的证据材料。若公安机关在立案后长时间未采取行动，可能涉嫌程序违法或怠于履行职责。
- 催办函作为一种正式的法律文书，可以用于提醒或督促公安机关尽快履行其职责，确保案件得到及时、有效的处理。
合理性：
- 在立案后长时间未抓人的情况下，写催办函是一种合理的维权方式。它不仅可以表达当事人对案件进展的关切，还可以促使公安机关加快侦查进度，维护当事人的合法权益。
二、写催办函的注意事项
内容要求：
- 催办函应当明确、具体地阐述案件的基本情况、立案时间、目前进展以及当事人对案件处理的期望和要求。
- 催办函应当礼貌、得体地表达当事人的诉求，避免使用过激或不当的言辞。
提交方式：
- 催办函可以通过邮寄、电子邮件或直接送达等方式提交给公安机关的办案部门或相关负责人。
- 在提交催办函时，建议保留好相关的送达证据，如邮寄回执、电子邮件发送记录等，以备后续需要。
后续跟进：
- 提交催办函后，当事人可以主动与公安机关联系，了解案件的最新进展。
- 若公安机关在收到催办函后仍未采取行动，当事人可以考虑向上一级公安机关或检察机关反映情况，寻求进一步的帮助和支持。
三、其他可能的维权方式
申请复议或申诉：
- 如果当事人认为公安机关在立案后的处理过程中存在违法行为或不当行为，可以向上一级公安机关申请复议或向检察机关申诉。
寻求法律援助：
- 当事人可以咨询专业律师，了解自己的法律权益和可能的维权途径。律师可以根据案件的具体情况，为当事人提供专业的法律建议和帮助。
四、法律后果与风险提示
法律后果：
- 如果公安机关在立案后确实存在怠于履行职责的情况，可能会受到内部纪律处分或外部监督机构的问责。
- 当事人通过合法途径维权，如写催办函、申请复议或申诉等，通常不会承担法律责任。但若采取过激或非法手段维权，则可能面临法律风险。
风险提示：
- 在写催办函或采取其他维权方式时，当事人应确保自己的行为合法合规，避免侵犯他人的合法权益或违反法律法规的规定。
- 当事人应理性对待案件进展，不要因情绪激动而采取过激行为，以免给自己带来不必要的麻烦和损失。
建议：在立案一个月迟迟不抓人的情况下，你可以考虑写催办函来提醒或督促公安机关尽快履行职责。同时，你也可以咨询专业律师，了解自己的法律权益和可能的维权途径。如果你有任何疑问或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。