法律援助中心属于司法行政部门设立的专门机构。以下是对这一问题的详细解释：

1. 性质与设立目的：

   • 法律援助中心是国家拨款设立的专门机构，旨在为经济困难或特殊案件的当事人提供必要的法律服务。其核心目的是维护司法公正，确保经济困难或其他符合条件的公民能平等地获得法律服务，同时保障公民合法权益，特别是经济困难群体和特殊案件当事人的法律需求得到满足。

2. 隶属关系：

   • 法律援助中心通常隶属于直辖市、设区的市或县级人民政府司法行政部门，如司法局。这意味着法律援助中心在司法行政体系的指导下开展工作，接受司法行政部门的监督和管理。

3. 服务范围与内容：

   • 法律援助中心提供的服务涵盖多个领域，包括但不限于法律咨询、代拟法律文书、刑事辩护和刑事代理、民事诉讼代理、行政诉讼和行政复议代理、劳动仲裁代理、非诉讼法律事务代理等。这些服务旨在满足经济困难或特殊案件当事人的法律需求，确保他们的合法权益得到维护。

4. 申请流程与条件：

   • 当事人如需法律援助，应向当地的法律援助中心或司法局提出申请，并提供相关证明材料以证明自己的经济状况和案件情况符合法律援助的条件。法律援助中心在收到申请后，会进行审查并决定是否提供法律援助。如果符合条件，将会指派律师或法律工作者为申请人提供免费的法律服务。

5. 经费来源与管理：

   • 法律援助中心的经费主要来源于政府财政拨款，确保了其公益性和服务的可持续性。同时，国家也鼓励和支持社会力量通过依法捐赠等方式为法律援助事业提供支持，以进一步拓宽经费来源渠道，增强法律援助的覆盖面和服务能力。

举例说明： 假设张某因家庭经济困难，无法承担诉讼费用，且其案件涉及刑事辩护，符合法律援助的条件。张某可以向当地的法律援助中心提出申请，法律援助中心在审查其经济状况和案件情况后，决定为其提供法律援助，并指派一名律师为其进行刑事辩护。这样，张某就能在法律援助中心的帮助下，平等地获得法律服务，维护自己的合法权益。

总结与建议： 法律援助中心作为司法行政部门设立的专门机构，在维护司法公正、保障公民合法权益方面发挥着重要作用。如果你或你身边的人遇到经济困难或特殊案件，需要法律援助，可以向当地的法律援助中心或司法局提出申请。同时，也建议大家多了解法律援助的相关政策和申请流程，以便在需要时能够及时获得有效的法律帮助。如果你有任何法律问题，也可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律建议。