结论：双方骂人后是否需要拘留，以及是否需当日拘留，取决于骂人行为的具体情节、场合以及造成的影响，并非所有骂人行为都会被拘留，也并非一旦决定拘留就必须当日执行。
一、骂人行为的法律性质与后果
轻微言语冲突：
- 在日常生活中，轻微的言语冲突，如邻里间的口角，通常不会引发拘留。这类行为多被视为民事侵权，双方可通过协商或基层调解组织解决。
违反治安管理处罚法的情形：
- 若骂人行为达到公然侮辱的程度，即在大庭广众之下用激烈、低俗的语言辱骂他人，严重损害其名誉和尊严，根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十二条第二项的规定，此类行为可处五日以下拘留或者五百元以下罚款；情节较重的，将面临五日以上十日以下拘留，并可并处五百元以下罚款。
- 拘留的执行时间：一旦公安机关决定对骂人者进行拘留，通常会尽快执行，但并非必须当日执行。执行时间可能因案件调查、程序要求等因素而有所延迟。
构成犯罪的情形：
- 当骂人行为情节特别严重，可能涉嫌犯罪，即构成侮辱罪。依据《中华人民共和国刑法》第二百四十六条，以暴力或者其他方法公然侮辱他人，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利。
- 刑事拘留：在刑事诉讼过程中，如果骂人行为涉嫌犯罪，公安机关可能会对嫌疑人采取刑事拘留措施。刑事拘留的期限和执行时间需遵循刑事诉讼法的相关规定。
二、拘留的法律依据及类型
行政拘留：
- 针对违反治安管理行为的一种行政处罚，由县级以上公安机关裁决。对于公然侮辱他人的行为，如果情节严重，可能构成行政拘留的条件。
司法拘留：
- 在民事、行政和刑事诉讼过程中，对于妨碍诉讼行为的诉讼参与人以及其他人员，人民法院有权采取的一种强制性手段。若骂人行为发生在法庭等诉讼场所，严重扰乱法庭秩序，也可能构成司法拘留的条件。
三、综合考虑因素与建议
- 综合考虑因素：在处理骂人事件时，公安机关会综合考虑多种因素，包括骂人者的动机、情节、后果以及被害人的感受等。对于情节轻微、未造成严重后果的骂人行为，公安机关可能会采取批评教育、责令赔礼道歉等非拘留措施进行处理。
- 建议：为了避免不必要的法律纠纷和后果，建议大家在日常生活中注意言行举止，尊重他人，避免使用侮辱性或攻击性的语言。如果遇到纠纷或冲突，应冷静处理，寻求合法途径解决。如果遭受辱骂，可以了解相关法律法规，依法维护自己的合法权益。
总结：双方骂人后是否需要拘留，以及拘留的执行时间，需根据具体情况来判断。在实际操作中，公安机关会依法对骂人行为进行综合考量，并作出相应的处理决定。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。