结论前置：

1. 私生子的存在并不能直接证明对方构成重婚罪，但可以作为进一步调查取证的线索。
2. 要认定重婚罪，需有充分证据证明对方存在法律或事实上的重婚行为。

详细分析：

在探讨是否因老公出轨并有私生子而可以告其重婚罪时，我们首先要明确重婚罪的定义及其构成要件。根据我国法律，重婚罪是指有配偶者又与他人登记结婚，或者明知他人有配偶而与之结婚的行为，这包括法律上的重婚和事实上的重婚两种情形。法律上的重婚，即有配偶者又与他人进行了婚姻登记；事实上的重婚，即虽未进行婚姻登记，但与他人以夫妻名义共同生活。

私生子的出现，确实表明了对方与婚外异性存在生育关系，但这并不等同于重婚行为。私生子只能作为对方可能存在不忠行为或婚外情的一个信号，而不能直接作为认定重婚罪的决定性证据。因为重婚罪的认定，关键在于是否存在法律或事实上的重婚行为，而非仅仅基于生育关系。

为了证明对方构成重婚罪，我们需要收集多方面的、充分的证据。这些证据可以包括但不限于：

• 对方与第三者的结婚登记材料（如婚姻登记记录、结婚证等）；
• 婚纱照、共同生活的照片或视频等直观证据；
• 周围邻居或居委会的证人证言，证明对方与第三者以夫妻名义共同生活；
• 双方以夫妻名义对外从事民事活动的相关证据，如租房合同、在公共场合的自称等。

只有当我们能够提供这些确凿的证据，形成完整的证据链时，才能有效地指控对方构成重婚罪。

同时，值得注意的是，重婚罪属于自诉案件，遵循“不告不理”的原则。这意味着，如果无过错方不主动向人民法院提起诉讼，人民法院就不会主动受理和审判此类案件。因此，如果你认为你的配偶存在重婚行为，并且你希望追究其刑事责任，你必须主动站出来，向人民法院提起诉讼。

法律建议：

1. 收集证据：在决定提起诉讼前，务必收集充分的证据来证明对方存在重婚行为。这可能需要你进行一定的调查和取证工作，甚至可能需要寻求专业侦探或律师的帮助。
2. 咨询律师：在提起诉讼前，建议你咨询专业律师，了解具体的法律程序和诉讼策略。律师可以根据你的具体情况，为你提供个性化的法律建议。
3. 提起诉讼：在收集到充分证据并咨询律师后，你可以向人民法院提起诉讼，要求追究对方的刑事责任。在诉讼过程中，你需要积极配合法院的工作，提供必要的证据和材料。

可能法律后果：

如果法院最终认定对方构成重婚罪，那么对方将面临刑事责任的追究，可能包括有期徒刑、拘役或罚金等刑罚。同时，这也可能对你的婚姻关系产生深远影响，包括离婚、财产分割、子女抚养权等方面的处理。

综上所述，虽然私生子的存在不能直接证明对方构成重婚罪，但它可以作为我们进一步调查取证的线索。通过深入调查和收集证据，我们有可能揭示出对方是否存在法律或事实上的重婚行为，并据此决定是否向人民法院提起诉讼。如果你在此过程中有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。