结论概述：结合新闻背景，在浙江温岭的牛排自助餐厅内，顾客用吃饭的筷子喂宠物狗的行为，顾客可能需承担一定的法律责任，而餐厅是否需担责则取决于其是否尽到了合理的管理义务。以下是对此问题的详细分析：

1. 顾客的法律责任：

   • 公共卫生与食品安全角度：顾客使用自己用餐的筷子喂狗，这一行为可能违反了公共卫生和食品安全的相关规定。虽然直接的法律条文可能并未明确提及此类具体行为，但根据《中华人民共和国食品安全法》的相关规定，食品生产经营者应当保证食品安全，不得有污染食品的行为。顾客的行为虽非直接生产经营行为，但其在餐厅内使用餐具喂狗，无疑增加了食品被污染的风险，可能对其他顾客的健康构成威胁。若因此导致其他顾客健康受损，顾客可能需要承担相应的民事赔偿责任。
   • 公共场所秩序角度：在公共场所，如餐厅内，顾客的行为应当遵守社会公德和公共秩序。使用餐具喂狗的行为显然违背了这一原则，可能构成对公共场所秩序的扰乱。虽然此类行为可能不直接受到行政处罚，但餐厅有权要求顾客停止此类行为，甚至拒绝为其提供服务。

2. 餐厅的法律责任：

   • 管理义务角度：餐厅作为公共场所的经营者，对场所内的秩序和安全负有管理义务。这包括确保餐具的卫生、防止食品被污染以及维护公共场所的秩序等。若餐厅未能尽到这些管理义务，导致顾客健康受损或公共场所秩序被扰乱，餐厅可能需要承担相应的法律责任。然而，在此事件中，餐厅是否需担责取决于其是否及时采取了措施制止顾客的行为，以及是否尽到了合理的提醒和管理义务。
   • 合同关系角度：顾客与餐厅之间存在服务合同关系。餐厅有义务提供符合卫生标准的餐具和食品，而顾客则有义务遵守餐厅的规章制度和公共场所的秩序。若顾客的行为违反了这些规定，餐厅有权依据合同关系要求顾客承担相应的责任。但在此情况下，餐厅通常更倾向于通过劝阻、制止等方式来解决问题，而非直接追究顾客的法律责任。

3. 新闻背景下的法律分析：

   • 根据新闻报道，市监所正在对此事进行调查。这表明相关部门已经关注到了此事，并可能根据调查结果采取相应的措施。若调查发现餐厅或顾客存在违法行为，相关部门将依法进行处罚。
   • 商场作为宠物友好型商场，允许宠物进入商场本身并不违法。但商场和餐厅均有义务确保宠物不会对其他顾客造成困扰或危害。在此事件中，餐厅和商场可能需要反思其管理措施是否足够完善，以防止类似事件的再次发生。

4. 对公众的启示：

   • 顾客在公共场所应当遵守社会公德和公共秩序，尊重他人的权益和感受。使用餐具喂狗等行为不仅不卫生，还可能对其他顾客的健康构成威胁。
   • 餐厅作为公共场所的经营者，应当加强管理，确保餐具的卫生和食品的安全。同时，餐厅也有权要求顾客遵守其规章制度和公共场所的秩序。
   • 商场作为宠物友好型场所，应当制定完善的管理措施，确保宠物不会对其他顾客造成困扰或危害。这包括设置专门的宠物活动区域、提供宠物用品等。

建议：若遇到类似情况，餐厅应及时制止顾客的行为，并提醒其遵守公共场所的秩序和卫生规定。若顾客不听劝阻或造成严重后果，餐厅可考虑报警或寻求法律援助。同时，餐厅也应加强自身管理，确保餐具的卫生和食品的安全，为顾客提供一个舒适、安全的用餐环境。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。