结论：月底最后一天还清贷款且没有逾期的情况下，第二个月是否还能看到相关记录，这主要取决于贷款机构的信息更新和报送机制，以及征信系统的更新时间。一般来说，如果贷款已还清且无逾期，相关记录在征信系统中的显示会逐渐更新，但具体时间可能因机构而异。
详细分析：
贷款机构的信息更新：
- 贷款机构在收到您的还款后，会进行内部处理，包括更新您的贷款状态为“已还清”。
- 这一更新过程可能需要一定的时间，具体取决于贷款机构的内部流程和系统效率。
征信系统的更新：
- 贷款机构通常会将您的贷款信息定期报送至征信系统，以便其他金融机构在查询您的信用记录时能够获取到最新的信息。
- 征信系统的更新时间也因机构而异，有的可能实时更新，有的则可能定期批量更新。
- 如果您的贷款在月底最后一天还清，且贷款机构及时报送了更新信息，那么征信系统可能在较短时间内（如几天内）就反映出您的贷款已还清且无逾期。
查询时间点的影响：
- 如果您在贷款还清后的第二个月初就查询征信记录，可能由于征信系统尚未更新或贷款机构尚未报送更新信息，而仍然看到之前的贷款记录（但状态应为“已还清”或类似表述，且无逾期记录）。
- 如果您在贷款还清后的一段时间（如一个月或更久）再查询征信记录，那么更有可能看到更新后的记录，即贷款已还清且无逾期。
建议：
- 如果您希望尽快确认贷款已还清且无逾期记录在征信系统中的显示情况，可以联系贷款机构咨询其信息更新和报送机制，以及征信系统的预计更新时间。
- 您也可以直接查询自己的征信记录（可以通过中国人民银行征信中心或其他合法征信机构进行查询），以获取最准确的信息。
- 如果在查询过程中发现任何异常或错误记录，应及时与贷款机构或征信机构联系进行更正。
后续行动：
- 如果您对征信记录的具体内容或查询方式有任何疑问，或者发现征信记录中存在错误或遗漏，都可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。