工厂直接开除员工且不提供离职手续，员工可通过以下途径维权：

1. 确认开除行为的合法性
   根据《劳动合同法》第三十九条至第四十一条，用人单位单方解除劳动合同需符合法定情形（如严重违纪、不能胜任工作等），且需履行书面通知、说明理由等程序。若工厂未提供书面解除通知、未说明具体理由，或解除理由不符合法律规定，则属于违法解除。
   行动建议：要求工厂出具书面解除证明，明确解除时间、原因及依据。若工厂拒绝，可通过录音、聊天记录等证据证明其单方解除行为。

2. 主张违法解除的赔偿金
   若工厂违法解除劳动合同，员工可依据《劳动合同法》第四十八条、第八十七条，要求工厂支付赔偿金（标准为经济补偿金的2倍，即工作每满1年支付2个月工资）。
   计算方式：赔偿金=月工资×工作年限×2（月工资指解除前12个月平均工资，含奖金、津贴等）。
   行动建议：收集工资条、银行流水、劳动合同等证据，向工厂提出书面赔偿要求。

3. 要求工厂出具离职证明并办理档案转移
   根据《劳动合同法》第五十条，用人单位应在解除劳动合同时出具离职证明，并在15日内为员工办理档案和社会保险关系转移手续。工厂拒不提供的，员工可向劳动监察部门投诉。
   行动建议：书面要求工厂出具离职证明，并明确告知其法律义务。若工厂仍不配合，可向当地劳动保障监察大队举报（电话：12333）。

4. 申请劳动仲裁维护权益
   若工厂拒绝赔偿或出具证明，员工可向劳动合同履行地或用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，主张：

   • 违法解除赔偿金；
     
   • 未出具离职证明导致的损失（如无法入职新单位的误工费）；
     
   • 其他应得权益（如未结工资、加班费等）。
     行动建议：准备仲裁申请书、身份证复印件、劳动合同、工资记录、解除证据等材料，及时提交仲裁委。

5. 注意时效与证据收集

   • 劳动仲裁时效为1年，自知道或应当知道权益被侵害之日起计算；
     
   • 关键证据包括：劳动合同、工资记录、解除通知（如有）、沟通记录、考勤记录等；
     
   • 若工厂未签劳动合同，可主张双倍工资差额（最长11个月）。

总结：工厂违法解除且不提供手续的，员工应优先通过协商、投诉解决；若无效，立即申请劳动仲裁，主张赔偿金及离职证明。过程中务必保留证据，避免因证据不足影响维权效果。如有疑问，可进一步向我咨询具体操作细节。