在乘私家车出车祸导致乘客受伤的情况下，误工费的承担主体主要取决于事故责任方。以下是详细分析：
如果事故责任在私家车驾驶员：
- 驾驶员承担赔偿责任：根据《中华人民共和国民法典》第一千二百一十三条，机动车发生交通事故造成损害，属于该机动车一方责任的，先由承保机动车强制保险的保险人在强制保险责任限额范围内予以赔偿；不足部分，由承保机动车商业保险的保险人按照保险合同的约定予以赔偿；仍然不足或者没有投保机动车商业保险的，由侵权人赔偿。因此，如果事故责任在私家车驾驶员，那么驾驶员（或其保险公司）需要承担乘客的误工费赔偿。
- 误工费的计算：误工费根据受害人的误工时间和收入状况确定。误工时间根据受害人接受治疗的医疗机构出具的证明确定。受害人有固定收入的，误工费按照实际减少的收入计算；无固定收入的，按照其最近三年的平均收入计算；不能举证证明其最近三年的平均收入状况的，可以参照受诉法院所在地相同或者相近行业上一年度职工的平均工资计算。
如果事故责任在第三方（如其他车辆或行人）：
- 第三方承担赔偿责任：如果事故是由第三方造成的，那么乘客的误工费应由第三方（或其保险公司）承担。这同样遵循《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定。
- 赔偿流程：在这种情况下，乘客或驾驶员（代表乘客）需要向第三方或其保险公司提出索赔要求，并提供相关证据（如医疗证明、收入证明等）来支持误工费的赔偿请求。
特殊情况：
- 乘客自身过错：如果乘客在事故中存在过错（如未系安全带等），可能会影响其误工费的赔偿比例。根据《中华人民共和国民法典》第一千一百七十三条，被侵权人对同一损害的发生或者扩大有过错的，可以减轻侵权人的责任。
- 驾驶员与乘客的关系：如果驾驶员与乘客之间存在特殊关系（如家庭成员、朋友等），且事故是由于驾驶员的故意或重大过失造成的，那么除了保险公司赔偿外，驾驶员可能还需要承担额外的赔偿责任。不过，这种情况下的具体责任划分需要根据实际情况和法律规定来判断。
建议：
- 及时收集证据：在事故发生后，乘客应尽快收集相关证据（如医疗记录、收入证明、事故认定书等），以便在后续索赔过程中提供有力支持。
- 咨询专业律师：如果乘客对误工费的赔偿问题存在疑问或争议，建议咨询专业律师以获取更详细的法律建议和帮助。
总之，乘私家车出车祸导致乘客受伤时，误工费的承担主体主要取决于事故责任方。乘客应根据实际情况和法律规定来维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。