在我国，刑事诉讼中的罚金由第一审人民法院负责执行。以下是对这一问题的详细解答：
一、执行主体
法律规定：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关司法解释的规定，罚金刑的执行主体是第一审人民法院。这意味着，无论案件经过多少级法院审理，最终负责执行罚金的都是最初作出判决的法院。
具体执行部门：虽然法律未明确规定应由法院的哪个部门具体执行罚金，但在实践中，通常会委托人民法院的司法警察部门代为执行。司法警察部门具备执行此类任务的职责和能力，能够确保罚金的有效执行。
二、执行流程
判决生效：刑事案件经过审理并作出判决后，若被告人未在法定期限内上诉或抗诉，判决即发生法律效力。此时，判决书中确定的罚金数额和缴纳期限具有法律约束力。
通知缴纳：判决生效后，一审人民法院会向被告人发出缴纳罚金的通知书，明确告知其应在规定的期限内缴纳罚金。这是执行罚金的第一步，也是确保被告人知晓并履行义务的重要环节。
自动缴纳：犯罪分子应在人民法院指定的期限内按时、自觉、主动地缴纳全部罚金。若犯罪分子的亲属自愿代替缴纳罚金的，人民法院也应允许，并可作为减刑的情节适当考虑（若被判处主刑）。
强制执行：若被告人在规定期限内未缴纳罚金，一审人民法院将依法采取强制措施进行执行。这可能包括查封、扣押、冻结被告人的财产，甚至拍卖其财产以抵缴罚金。这些措施旨在确保罚金的顺利执行，维护法律的严肃性。
随时追缴：对于不能全部缴纳罚金的，人民法院在任何时候发现被执行人有可以执行的财产时，都应随时追缴。这一规定增强了罚金刑执行的威慑力，确保了罚金制度的有效实施。
三、特殊情况处理
减免或免除罚金：在特定情况下，如被告人因遭遇不能抗拒的灾祸等原因确实无法缴纳罚金时，可以向人民法院申请减免或免除罚金。人民法院将根据具体情况进行审查，并作出相应的裁定。这一规定体现了法律的人性化和灵活性。
延期缴纳：对于暂时无力全额缴纳罚金的被告人，人民法院也可以裁定延期缴纳。这有助于缓解被告人的经济压力，同时确保罚金制度的公正性和可操作性。
四、法律后果
若被告人拒不缴纳罚金，不仅面临上述强制执行措施，还可能被追究刑事责任。因此，建议被告人在判决生效后，应严格按照判决确定的金额和期限缴纳罚金，以避免不必要的法律纠纷和损失。
总结来说，刑事诉讼中的罚金由第一审人民法院负责执行，执行过程中会遵循严格的流程和规定。对于被告人而言，积极履行罚金缴纳义务是体现悔罪态度、争取从宽处理的重要途径。如果您或您身边的人遇到相关法律问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律建议。