结论：母亲的份额可以私下立遗嘱给另外一个子女，但需满足一定条件。

详细分析：

1. 遗嘱的合法性：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，公民有权通过遗嘱处分自己的财产。因此，母亲作为房产的共有人之一，有权通过遗嘱来指定其份额的继承人。
   • 遗嘱必须符合法律规定的形式要件，如自书遗嘱需由遗嘱人亲笔书写、签名，并注明年、月、日；代书遗嘱应当有两个以上见证人在场见证，由其中一人代书，并由遗嘱人、代书人和其他见证人签名，注明年、月、日等。若遗嘱形式不合法，可能导致遗嘱无效。

2. 遗嘱的效力范围：

   • 母亲只能处分其个人在房产中的份额。如果房产是父母共同所有，父亲去世后，其份额将按照法定继承或遗嘱继承的方式分配。在父亲份额未分配完毕前，母亲不能单独处分整个房产，只能处分其个人份额。
   • 若母亲想要将其份额遗赠给非法定继承人（如某个子女以外的其他人），也需通过合法遗嘱进行，且该遗赠不得违反法律强制性规定或公序良俗。

3. 遗嘱的撤销与变更：

   • 母亲在生前有权随时撤销或变更其遗嘱。如果母亲在立遗嘱后改变了主意，想要将份额分配给其他子女或采取其他分配方式，可以通过新的合法遗嘱来撤销或变更原遗嘱。

4. 实际操作建议：

   • 为了确保遗嘱的合法性和有效性，建议母亲在立遗嘱时咨询专业律师，了解相关法律规定和遗嘱形式要求。
   • 遗嘱可以公证，公证遗嘱具有较高的法律效力，可以在一定程度上避免遗嘱纠纷。
   • 如果母亲选择私下立遗嘱，应确保遗嘱内容清晰明确，避免使用模糊或歧义的语言，以免引发继承纠纷。

可能产生的法律后果：

• 如果遗嘱合法有效，母亲的份额将按照遗嘱进行分配，其他子女或继承人需尊重遗嘱内容。
• 如果遗嘱存在形式或内容上的瑕疵，可能导致遗嘱无效或部分无效，此时母亲的份额将按照法定继承的方式分配。

进一步建议：

• 鉴于家庭财产纠纷的复杂性和敏感性，建议母亲在立遗嘱前与所有子女进行充分沟通，解释其遗嘱意愿和原因，以减少潜在的继承纠纷。
• 如果母亲对遗嘱的立定或执行有任何疑问或担忧，可以随时向我咨询，我将提供专业的法律意见和帮助。