能否要回首付款和月供，需根据具体法律关系和证据情况来判断，以下是不同情形下的分析：

1. 若支付行为被认定为借款
   如果双方明确约定这些款项是借款（例如有借条、聊天记录、录音等证据证明对方承诺还款），则您有权要求对方返还全部款项（包括首付款和已支付的月供）。此时法律关系为民间借贷，适用《民法典》第667条关于借款合同的规定。
   关键点：需证明双方存在借贷合意，而非赠与或其他法律关系。

2. 若支付行为被认定为赠与
   如果款项被认定为赠与（例如您明确表示“不用还”或双方无书面约定），则一般无法要求返还。但若符合法定撤销情形（如对方严重侵害您或您近亲属权益、未履行赡养义务等），可依据《民法典》第663条主张撤销赠与。
   例外情形：若赠与财产为不动产或大额资金，且您能证明赠与是以结婚为目的（如恋爱期间为购房共同生活支付），后续未结婚的，可能适用“附条件赠与”规则要求返还。

3. 若支付行为涉及共同购房或投资关系

   • 共同购房：若双方约定共同出资购房（如按份共有），但房产登记在对方名下，您可要求分割房产或返还出资款（需提供出资证明、共有协议等证据）。
     
   • 投资关系：若款项为投资款（如约定共享房产增值收益），则需按投资协议处理；若无协议，可能按“不当得利”主张返还，但需证明对方无合法依据取得利益。

4. 若支付行为涉及无权代理或表见代理
   若您代付款项是基于对方授权（如对方委托您代为支付），但后续对方否认授权，您需证明代理关系存在（如委托合同、授权书）；若构成表见代理（如您有理由相信对方有授权），可要求对方承担付款责任。

行动建议：

1. 立即收集证据：包括转账记录、聊天记录、录音、书面协议等，证明款项性质（借款/赠与/投资等）及双方约定；
   
2. 评估法律关系：根据证据情况，判断适用借贷、赠与、共有或投资等法律规则；
   
3. 协商或诉讼：优先与对方协商解决；协商不成，可依据证据向法院起诉，主张返还款项或分割财产。
   

温馨提示：法律关系认定需结合具体证据，建议尽快整理材料并咨询专业律师，避免因证据缺失或超过诉讼时效（一般为3年）导致权益受损。如有进一步问题，可直接向我提问。