核心结论：在家人陪同洗浴时于洗浴场所摔倒，赔偿问题需根据具体情况判断，主要涉及洗浴场所是否尽到安全保障义务以及摔倒者自身是否存在过错等因素。以下分情况详细说明：

1. 洗浴场所未尽到安全保障义务

   • 责任认定：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十八条规定，宾馆、商场、银行、车站、机场、体育场馆、娱乐场所等经营场所、公共场所的经营者、管理者或者群众性活动的组织者，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。洗浴场所作为公共场所，有义务为顾客提供安全的环境，比如地面防滑措施是否到位、警示标识是否清晰、设施是否存在安全隐患等。如果因为这些方面存在缺陷导致摔倒，洗浴场所通常需要承担主要或全部责任。
   • 赔偿范围：一般包括医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。如果造成残疾，还包括辅助器具费和残疾赔偿金；造成死亡的，还包括丧葬费和死亡赔偿金。
   • 举证要点：摔倒者及其家属需要收集相关证据，如现场照片、视频，证明地面湿滑、设施损坏等情况；医疗记录、费用清单等证明受伤情况和治疗费用；证人证言等，以证明摔倒与洗浴场所的过错存在因果关系。

2. 摔倒者自身存在过错

   • 责任认定：如果摔倒者自身存在过错，比如明知地面湿滑却奔跑、故意做出危险动作等，根据《中华人民共和国民法典》第一千一百七十三条规定，被侵权人对同一损害的发生或者扩大有过错的，可以减轻侵权人的责任。此时，洗浴场所的责任会相应减轻，摔倒者需要自行承担一部分责任。
   • 赔偿比例：具体的赔偿比例会根据双方的过错程度来确定。例如，如果摔倒者过错较大，洗浴场所可能只需承担 30% - 50%的责任；如果双方过错相当，可能各自承担 50%的责任。
   • 举证要点：洗浴场所需要提供证据证明摔倒者存在过错，如监控视频显示摔倒者的危险行为等。

3. 第三人原因导致摔倒

   • 责任认定：如果是因为第三人的行为导致摔倒，比如其他顾客的碰撞等，根据《中华人民共和国民法典》第一千一百七十五条规定，损害是因第三人造成的，第三人应当承担侵权责任。经营者、管理者或者组织者未尽到安全保障义务的，承担相应的补充责任。经营者、管理者或者组织者承担补充责任后，可以向第三人追偿。
   • 赔偿流程：首先由第三人承担赔偿责任，如果第三人无法确定或者无力赔偿，洗浴场所在其未尽到安全保障义务的范围内承担补充赔偿责任，之后洗浴场所可以向第三人追偿。
   • 举证要点：需要证明摔倒是由第三人的行为导致的，如证人证言、监控视频等。

建议：在发生摔倒事件后，应及时与洗浴场所沟通协商赔偿事宜，保留好相关证据。如果协商不成，可以通过法律途径解决，如向法院提起诉讼。在诉讼过程中，要积极配合律师收集和提供证据，以维护自己的合法权益。如果你还有其他疑问或需要进一步的帮助，可以直接向我咨询。