关于犯罪嫌疑人一直逃避追究的追诉期问题，这主要涉及到我国刑法中的追诉时效制度。以下是我从不同角度为你详细分析的解答：

1. 追诉时效的基本规定

   • 根据《中华人民共和国刑法》第八十七条的规定，犯罪经过下列期限不再追诉：
     • 法定最高刑为不满五年有期徒刑的，经过五年；
     • 法定最高刑为五年以上不满十年有期徒刑的，经过十年；
     • 法定最高刑为十年以上有期徒刑的，经过十五年；
     • 法定最高刑为无期徒刑、死刑的，经过二十年。如果二十年以后认为必须追诉的，须报请最高人民检察院核准。

2. 逃避追究对追诉期的影响

   • 如果犯罪嫌疑人在犯罪后一直逃避追究，比如潜逃、隐匿身份等，这并不影响追诉期的计算。追诉期是从犯罪之日起计算，而不是从犯罪嫌疑人被发现或被抓获之日起计算。
   • 但是，如果犯罪嫌疑人在追诉期限内又犯罪的，前罪追诉的期限从犯后罪之日起计算。这意味着，如果犯罪嫌疑人逃避追究期间再次犯罪，那么对于前罪的追诉期将会重新开始计算。

3. 追诉期的延长与中断

   • 追诉期的延长：在人民检察院、公安机关、国家安全机关立案侦查或者在人民法院受理案件以后，逃避侦查或者审判的，不受追诉期限的限制。这意味着，如果犯罪嫌疑人已经被立案侦查或受理案件，但之后逃避了侦查或审判，那么追诉期将不再适用，可以一直追究其刑事责任。
   • 追诉期的中断：在追诉期限以内又犯罪的，前罪追诉的期限从犯后罪之日起计算。这实际上是一种追诉期的“重置”，即因为新的犯罪行为，使得前罪的追诉期重新开始计算。

4. 实际案例与法律应用

   • 假设有一个犯罪嫌疑人犯下了法定最高刑为十年的有期徒刑的罪行，那么正常情况下，追诉期是十五年。但如果这个犯罪嫌疑人在犯罪后一直逃避追究，比如潜逃到国外，那么这并不影响追诉期的计算。十五年后，如果没有其他特殊情况（如再次犯罪），那么原则上就不再追诉。
   • 但是，如果这个犯罪嫌疑人在潜逃期间又犯下了新的罪行，那么对于前罪的追诉期将会从犯后罪之日起重新开始计算。

总结与建议：

• 追诉期是刑法中一项重要的制度，它既保护了犯罪嫌疑人的合法权益，也确保了法律的公正和权威。
• 如果犯罪嫌疑人一直逃避追究，这并不影响追诉期的正常计算，但在某些特殊情况下（如再次犯罪或已经被立案侦查后逃避），追诉期可能会延长或中断。
• 如果你或你身边的人遇到了涉及追诉期的问题，建议及时咨询专业律师，以便更准确地了解法律条款和案件情况，从而做出更合理的决策。

希望以上解答能够对你有所帮助。如果你还有其他法律问题或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。