结论前置：

1. 在我国刑事诉讼中，被告人一般仅享有一次上诉机会，即针对一审未生效裁判向上一级法院提出上诉。
2. 若发现新证据或存在严重法律错误，且影响案件公正性，被告人可申请再审，但再审程序更为严格复杂。

详细解释与分析：

上诉机会

在我国刑事诉讼体系中，被告人对于一审法院作出的未生效判决或裁定，享有上诉的权利。这一权利是法律明确赋予的，旨在保障被告人的合法权益，确保审判的公正性。具体而言，被告人可以在接到判决书或裁定书后的法定期限内，向上一级法院提出上诉。这一上诉机会是唯一的，即一旦被告人行使了上诉权，且二审法院作出了终审判决或裁定，被告人就不能再就同一案件以相同理由再次上诉。

再审申请

虽然被告人一般仅享有一次上诉机会，但法律也提供了其他救济途径。如果被告人认为已经发生法律效力的判决、裁定确有错误，他可以向人民法院或人民检察院提出申诉，进而可能启动再审程序。再审程序并非传统意义上的“上诉”，但它为被告人提供了一个额外的机会来挑战原先的判决。

再审的启动通常需要满足特定的法律条件，如发现新证据、原判决存在严重法律错误等。这些条件旨在确保再审程序的严肃性和公正性，防止被告人滥用再审权利。由于再审程序更为严格复杂，因此其启动并不容易，需要被告人提供充分的证据和理由。

实际操作中的注意事项

1. 及时行使上诉权：被告人应在接到判决书或裁定书后的法定期限内行使上诉权，否则将丧失上诉机会。
2. 充分准备上诉材料：被告人在提出上诉时，应准备充分的上诉材料，包括上诉状、证据等，以支持自己的上诉请求。
3. 了解再审条件：如果被告人考虑申请再审，应提前了解再审的启动条件和程序，以便在必要时能够及时提出申请。

总结与建议：

在我国刑事诉讼中，被告人一般享有一次上诉机会，这是法律赋予的基本权利。但在特定情况下，如发现新证据或存在严重法律错误，被告人可通过申诉或申请再审等方式寻求进一步的救济。如果你或你身边的人面临刑事诉讼问题，有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我会根据你的具体情况，提供详细的法律建议和帮助。