核心结论：医院未签合同的人员上班期间死亡，其家属或相关权益人可以通过法律途径主张权益，具体处理方式需根据死亡原因、是否存在劳动关系等因素综合判断。以下从不同角度详细分析：

1. 劳动关系认定是关键

• 未签合同≠不存在劳动关系：根据《劳动合同法》及相关司法解释，即使未签订书面劳动合同，只要存在事实劳动关系（如实际提供劳动、接受管理、领取报酬等），即视为成立劳动关系。家属可收集工资记录、工作证、考勤记录、同事证言等证据证明劳动关系。
• 例外情形：若死者属于退休返聘人员、实习学生、非全日制用工等特殊情形，可能不构成劳动关系，而属于劳务关系或雇佣关系，此时适用《民法典》侵权责任编而非劳动法。

2. 死亡原因决定法律路径

• 工伤认定（劳动关系下）：
  • 条件：若死亡与工作相关（如因工作原因受伤后死亡、上下班途中非本人主要责任交通事故等），可申请工伤认定。根据《工伤保险条例》，家属可主张工亡待遇，包括一次性工亡补助金（上年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍）、丧葬补助金（6个月统筹地区上年度职工月平均工资）及供养亲属抚恤金。
  • 流程：用人单位应在30日内申请工伤认定，逾期未申请的，家属可在1年内直接向社保部门申请。
• 人身损害赔偿（劳务关系或第三方侵权下）：
  • 条件：若死亡因医院过错（如医疗设施故障、管理失职等）或第三方侵权导致，家属可依据《民法典》第1179条主张医疗费、丧葬费、死亡赔偿金（按受诉法院所在地上年度城镇居民人均可支配收入计算20年）及精神损害抚慰金。
  • 责任划分：若医院存在过错，需承担相应赔偿责任；若为第三方侵权（如患者袭击），则由侵权人赔偿，医院未尽安全保障义务的需补充赔偿。

3. 未签合同的法律后果

• 双倍工资差额：根据《劳动合同法》第82条，用人单位自用工之日起超过1个月未签书面合同的，需支付双倍工资差额（最多11个月）。但此主张需在劳动关系终止后1年内提出，且与工亡赔偿可并行主张。
• 经济补偿金：若因医院未签合同导致劳动关系解除（如医院单方辞退），死者生前可主张经济补偿金（按工作年限，每满1年支付1个月工资）。但死亡后此权利由继承人继承，需结合具体案情判断是否适用。

4. 实务建议

• 立即取证：家属应尽快收集工作证明、死亡证明、现场监控、医疗记录等证据，固定事实。
• 协商与诉讼并行：可先与医院协商赔偿，协商不成时向劳动仲裁委申请仲裁（劳动关系争议）或直接向法院起诉（人身损害赔偿）。
• 注意时效：工伤认定申请需在1年内提出，人身损害诉讼时效为3年，均从知道或应当知道权利受损之日起计算。

示例：若死者系医院保洁员，未签合同但工作3年，因清理医疗垃圾时感染疾病死亡，家属可：

1. 申请工伤认定，主张工亡待遇；
2. 同时要求医院支付未签合同的双倍工资差额（11个月工资）；
3. 若医院未提供防护措施导致感染，还可主张人身损害赔偿（需证明过错与死亡的因果关系）。

提示：具体案件需结合证据和当地司法实践判断，建议家属携带材料面询律师，制定针对性方案。如有进一步疑问，可直接向我咨询。