结论：您父亲因养了两只画眉鸟被判刑一个月监外执行，这种情况是会留下案底的。
分析说明：
案底的定义：
- 案底，通常指的是某人过去犯法或犯罪行为的记录，也称为犯罪记录。在我国法律体系中，一旦某人被法院判定有罪，并作出有罪判决，这一记录就会被保留下来，形成案底。
监外执行与案底的关系：
- 监外执行是刑罚执行的一种方式，它并不改变犯罪行为的性质和有罪判决的事实。无论刑罚是在监狱内执行还是在监狱外执行，只要法院作出了有罪判决，就会留下案底。
您父亲的具体情况：
- 您父亲因养了两只画眉鸟（可能涉及非法猎捕、杀害珍贵、濒危野生动物等违法行为，具体需根据画眉鸟的保护级别和当地法律法规判断）被判刑一个月，并监外执行。这意味着法院已经认定您父亲有罪，并作出了相应的刑罚判决。
案底的影响：
- 留下案底后，这一记录可能会对您父亲未来的就业、出国、升学等方面产生一定影响。具体影响程度取决于相关单位或机构对犯罪记录的审查标准和要求。
建议与行动：
- 接受现实并积极面对：既然法院已经作出了判决，您父亲应该接受这一现实，并积极面对未来的生活。虽然案底可能会带来一些不便，但并非无法克服。
- 咨询专业律师：如果您对判决结果有异议或想了解更多关于案底的影响和消除方式，可以向我咨询。我可以根据具体情况提供更详细的法律建议和帮助。
- 遵守法律法规：未来，您父亲应严格遵守国家法律法规，避免再次涉及违法犯罪行为，以维护自己的良好记录和声誉。
特殊场景补充：
- 如果您父亲认为判决存在错误或不当之处，可以在法定期限内提出上诉或申诉，寻求法律救济。但请注意，上诉或申诉并不意味着一定能改变判决结果，需要具体分析案件情况和法律依据。
相关法规：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，法院作出的有罪判决会形成犯罪记录，并可能被相关单位或机构查询和使用。
如有任何进一步的问题或需要更详细的法律建议，请随时向我咨询。