核心结论：单位将部门承包给私人后承包方欠薪，员工可采取以下措施维权，具体如下：

1. 明确法律关系与责任主体
   根据《劳动合同法》第九十四条及《保障农民工工资支付条例》第三十六条，若承包方（私人）具备用工主体资格（如个体工商户、有营业执照的承包人），员工与承包方构成劳动关系，承包方为欠薪直接责任人，单位作为发包方若未尽到监管义务（如未监督工资发放、未留存承包方资质证明等），可能需承担连带赔偿责任。
   若承包方不具备用工主体资格（如自然人承包），根据《关于确立劳动关系有关事项的通知》第四条，单位需承担用工主体责任，即员工可直接向单位主张工资，单位支付后可向承包方追偿。

2. 维权步骤与证据收集

   • 协商与投诉：
     员工可先与承包方、单位协商，要求限期支付工资；若协商无果，向单位所在地或劳动合同履行地的劳动监察大队投诉（需提交身份证、劳动合同、工资条、考勤记录、承包协议等证据，证明劳动关系及欠薪事实）。
     
   • 申请仲裁：
     若投诉未解决，员工可在知道或应当知道权利被侵害之日起1年内，向劳动合同履行地或单位所在地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，主张工资及50%-100%的赔偿金（《劳动合同法》第八十五条）。
     
   • 诉讼途径：
     对仲裁结果不服的，可在15日内向法院起诉；若单位与承包方互相推诿，可同时起诉两者，要求承担连带责任。

3. 特殊情形处理

   • 承包方“跑路”或无力支付：
     若承包方下落不明或无财产可供执行，员工可申请将单位列为被执行人（依据《民事诉讼法》及相关司法解释），要求单位先行垫付工资。
     
   • 单位主张“承包协议免责”：
     若单位以“内部承包协议约定工资由承包方承担”为由抗辩，该约定仅对单位与承包方有效，不得对抗员工，员工仍有权要求单位或双方共同支付工资。

行动建议：

1. 立即收集证据（如工作证、工资转账记录、承包方签字确认的欠条等）；
   
2. 优先向劳动监察大队投诉（处理周期短，可快速启动调查）；
   
3. 若欠薪金额较大或涉及多人，可委托律师介入，通过法律程序冻结单位或承包方的财产，确保执行到位。
   

如有进一步疑问（如证据不足、承包方身份认定等），可直接向我咨询，我将结合具体案情提供详细方案。