结论：打架导致一根肋骨轻微骨折是否构成刑事案件，主要取决于伤情鉴定结果以及案件的具体情况。若伤情鉴定为轻微伤，则一般不构成刑事案件；若鉴定为轻伤二级及以上，则可能构成故意伤害罪，需要承担刑事责任。以下是对此问题的详细分析：
一、伤情鉴定结果与法律责任
轻微伤：
- 根据《人体损伤程度鉴定标准》，单纯一根肋骨骨折通常被评定为轻微伤，指造成组织器官结构轻微损害或轻微功能障碍。
- 若伤情鉴定为轻微伤，则打人者通常不会被判刑，但需承担行政责任和民事赔偿责任。
- 行政责任方面，根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十三条，殴打他人或故意伤害他人身体的，可处五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。
- 民事赔偿责任方面，打人者需对伤者承担医疗费、误工费、护理费、交通费等因受伤产生的合理费用。
轻伤二级及以上：
- 若肋骨骨折在特定情况下（如多处肋骨骨折或伴有其他严重伤势）被鉴定为轻伤二级及以上，则可能构成故意伤害罪。
- 根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。
- 在这种情况下，打人者不仅需承担刑事责任，还需承担更重的民事赔偿责任，包括可能的精神损害抚慰金、伤残赔偿金等。
二、特殊情况下的免责
- 即使造成他人轻伤以上结果，如果打人者的行为属于正当防卫等法定免责情形，也不需要承担刑事责任。
- 正当防卫是指面对正在进行的不法侵害，为了使本人或他人的人身、财产和其他权利免受正在进行的不法侵害，而采取的制止不法侵害的行为。对不法侵害人造成损害的，属于正当防卫，不负刑事责任。
三、综合建议
- 及时报警并伤情鉴定：在发生打架事件后，建议及时报警并寻求专业法医进行伤情鉴定，以明确伤情程度和法律责任。
- 咨询专业律师：虽然这里我作为汪浩律师已经为你提供了详细的法律分析，但每个案件的具体情况都有所不同。因此，在面临此类问题时，你仍可以进一步向我咨询，以便更准确地了解自身权益及可能的法律后果。
- 积极承担民事赔偿责任：无论伤情如何，打人者都应积极承担民事赔偿责任，与受害者协商解决或通过法律途径解决纠纷。这有助于减少矛盾升级和法律风险。
示例说明：假设甲与乙因争执发生打架事件，导致乙一根肋骨轻微骨折。经法医鉴定为轻微伤后，甲需承担行政责任和民事赔偿责任。若甲积极赔偿并与乙达成和解协议，则可能减轻或免除行政处罚。反之，若甲拒绝赔偿或态度恶劣，则可能面临更严厉的行政处罚和民事赔偿要求。
总之，打架导致一根肋骨轻微骨折是否构成刑事案件需综合考虑伤情鉴定结果和案件具体情况。在处理此类案件时，应秉持公正、客观的原则，依法进行判定和处理。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。