如果离婚时一方不给付应承担的费用或履行应尽义务而被起诉，法院会根据具体情况进行审理并作出相应判决，具体处理方式如下：

1. 若涉及财产分割或债务承担
   法院会依据《民法典》第1087条、第1089条，结合双方贡献、经济状况、过错程度等因素，判决财产分配比例或债务承担方式。若一方拒不履行判决，另一方可申请强制执行，法院可查封、扣押、拍卖其财产，甚至将其纳入失信被执行人名单，限制高消费、出行等。

2. 若涉及子女抚养费
   根据《民法典》第1085条，未直接抚养子女的一方需按月支付抚养费，标准一般为月收入的20%-30%。若拒不支付，法院可强制执行其财产，并可能对其处以罚款、拘留；情节严重的，可能构成拒不执行判决、裁定罪，面临刑事处罚。

3. 若涉及离婚损害赔偿
   若一方存在重婚、家暴、虐待等重大过错（《民法典》第1091条），另一方可主张损害赔偿。法院会根据过错程度、经济能力等判决赔偿金额，拒不履行的同样可强制执行。

4. 若涉及探视权或共同财产交付
   若一方拒不配合对方行使探视权，或拒不交付判决分割的财产，法院可采取强制措施（如拘留、罚款），并要求其立即履行义务。

建议：若您已收到法院传票或面临此类纠纷，需及时准备证据（如财产证明、收入证明、过错证据等），并积极应诉。若对判决结果有异议，可在法定期限内上诉。若对方拒不履行判决，可立即申请强制执行，避免权益进一步受损。

如有具体细节需要进一步分析，可直接向我咨询。