把人打伤后投案自首，是否会被拘留以及拘留的天数，并非固定不变，而是需要根据伤情鉴定结果、案件具体情况以及法律规定来综合判断。以下是我从不同角度为你进行的分析：

1. 伤情鉴定结果的影响：

   • 如果伤情鉴定结果显示为轻微伤，那么根据《治安管理处罚法》的相关规定，可能会面临行政拘留，但行政拘留并非刑事拘留，且天数通常较短，一般在5日至10日之间，并可处以罚款。不过，若存在结伙殴打、伤害残疾人、孕妇等特定情形，拘留天数可能延长至10日至15日。
   • 如果伤情鉴定结果显示为轻伤或重伤，那么就可能构成刑事犯罪，此时若投案自首，根据《刑事诉讼法》的规定，公安机关可能会对犯罪嫌疑人采取刑事拘留措施。刑事拘留的天数则取决于案件的复杂程度、证据收集情况以及是否需要逮捕等因素，一般最长可达37日（包括检察院审查批准逮捕的7日）。

2. 自首情节的影响：

   • 自首是法定的从轻或减轻处罚情节。根据《刑法》的规定，犯罪以后自动投案，如实供述自己的罪行的，是自首。对于自首的犯罪分子，可以从轻或者减轻处罚。其中，犯罪较轻的，可以免除处罚。因此，如果你投案自首，且伤情鉴定结果不构成重伤或特别严重情节，那么在拘留期间或后续审判中，可能会得到从轻或减轻处罚的考虑。

3. 案件具体情况的影响：

   • 除了伤情鉴定结果和自首情节外，案件的具体情况也会影响拘留的天数。例如，如果案件涉及多人作案、有前科劣迹、作案手段特别残忍等情节，那么公安机关可能会更加谨慎地处理案件，拘留的天数也可能会相应延长。

建议：

• 如果你已经投案自首，那么应该积极配合公安机关的调查工作，如实供述自己的罪行，并争取从轻或减轻处罚的机会。
• 同时，你也可以考虑委托一名专业的律师为你提供法律帮助和辩护。律师可以协助你了解案件进展情况、提供法律咨询、代理申诉或控告等，以维护你的合法权益。

总结来说，把人打伤后投案自首是否会被拘留以及拘留的天数，取决于伤情鉴定结果、案件具体情况以及法律规定等多个因素。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。