若公司法律顾问私下敲诈勒索侵权人，公司及侵权人可采取以下措施：

1. 立即固定证据

   • 侵权人角度：需第一时间保存所有与法律顾问的沟通记录（包括书面、录音、录像等），尤其是涉及威胁、索财的内容。若已支付款项，需留存转账凭证、收条等证据。
     
   • 公司角度：若公司发现法律顾问存在此类行为，应立即调取其工作记录、邮件、合同等文件，确认其是否利用职务便利实施敲诈，并固定相关证据。

2. 向公安机关报案

   • 敲诈勒索属于刑事犯罪，根据《刑法》第274条，以非法占有为目的，对被害人使用威胁或要挟方法，强行索取公私财物的，可处三年以下有期徒刑、拘役或管制。
     
   • 侵权人或公司均可作为报案人，向法律顾问所在地或行为发生地的公安机关提交证据，要求立案侦查。公安机关受理后，将依法展开调查，若证据充分，会对其采取刑事强制措施。

3. 公司内部处理

   • 解除劳动关系：公司应立即解除与该法律顾问的劳动合同，并依据《劳动合同法》第39条，以“严重违反用人单位规章制度”或“被依法追究刑事责任”为由，无需支付经济补偿。
     
   • 追偿损失：若法律顾问的行为给公司造成损失（如声誉损害、客户流失等），公司可依据《民法典》第1165条，要求其承担侵权赔偿责任，并通过民事诉讼追偿。

4. 民事索赔与维权

   • 侵权人角度：若法律顾问的敲诈行为导致侵权人财产损失，侵权人可单独提起民事诉讼，要求返还非法所得并赔偿损失（如精神损害抚慰金、维权合理支出等）。
     
   • 公司角度：若法律顾问的行为同时侵害公司权益（如泄露商业秘密、串通侵权人损害公司利益），公司可依据《反不正当竞争法》或《公司法》相关规定，追究其法律责任。

5. 行业纪律处分

   • 若该法律顾问为执业律师，公司或侵权人可向当地律师协会或司法行政机关举报其违法行为。根据《律师法》第49条，律师因故意犯罪受刑事处罚的，将被吊销执业证书，终身禁止从事法律职业。

温馨提示：此类案件涉及刑事与民事交叉问题，建议同步处理刑事报案与民事索赔，以最大限度维护权益。若需进一步分析证据效力或制定诉讼策略，可直接向我咨询，我将结合具体案情提供详细方案。