结论：单位通常无权直接对开私家车不系安全带的员工进行处罚，但具体还需根据单位规章制度、劳动合同以及相关法律法规来综合判断。
分析说明：
从法律法规角度：
- 根据《中华人民共和国道路交通安全法》的规定，驾驶机动车时，驾驶人应当按规定使用安全带。这是法律对驾驶人的直接要求，违反者将由公安机关交通管理部门依法进行处罚，如罚款、扣分等。
- 法律法规并未赋予单位对员工私家车驾驶行为进行处罚的权力。单位不是交通管理部门，不具备执法权，因此不能直接对员工进行罚款或其他形式的处罚。
从单位规章制度角度：
- 单位可以制定内部规章制度来规范员工的行为，包括驾驶私家车时的安全要求。然而，这些规章制度必须合法、合理，并且不得与法律法规相抵触。
- 如果单位规章制度中明确规定了员工驾驶私家车不系安全带的处罚措施，并且这些措施不违反法律法规，那么单位在内部管理上可以依据这些规定对员工进行相应的处理，如警告、记过等，但通常不包括罚款等经济处罚（除非单位有明确的合法授权或员工同意）。
从劳动合同角度：
- 劳动合同是员工与单位之间约定双方权利和义务的协议。如果劳动合同中明确规定了员工驾驶私家车时的安全要求以及违反规定的后果，那么双方应当按照合同约定履行。
- 但同样地，劳动合同中的约定也不得违反法律法规的强制性规定。如果合同中的处罚措施违法，那么这些条款将是无效的。
特殊场景：
- 如果员工驾驶的是单位车辆，并且是在执行工作任务过程中不系安全带，那么单位可能会根据内部安全管理制度对员工进行相应的处理。但这种情况下的处理也应当合法、合理，并且不得违反法律法规的强制性规定。
后续行动建议：
- 作为员工，应当自觉遵守交通法规，驾驶私家车时系好安全带，以确保自身安全。
- 如果单位对员工驾驶私家车不系安全带的行为进行了不当处罚，员工可以与单位进行沟通协商，要求单位撤销不当处罚。
- 如果沟通协商无果，员工可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
法律后果提示：
- 驾驶私家车不系安全带是违法行为，将受到公安机关交通管理部门的处罚。
- 单位如果违反法律法规对员工进行不当处罚，可能面临法律责任和声誉损失。
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