结论：是否需要赔偿对方因私底下找美容机构花费的5000多元，取决于多个因素，包括划伤行为的性质、责任归属以及美容费用的合理性等。以下从不同角度进行分析。
一、责任归属
故意或过失划伤：
- 如果划伤行为是故意的，那么您可能需要承担全部的赔偿责任，包括对方因治疗划伤而产生的合理费用。
- 如果划伤行为是过失的，那么您可能需要根据过失程度承担相应的赔偿责任。
对方自身行为：
- 如果对方在划伤事件中也有过错（例如，对方先动手或存在其他挑衅行为），那么您的赔偿责任可能会相应减轻。
二、美容费用的合理性
必要性与合理性：
- 对方私底下找美容机构进行修复，需要证明该费用是必要且合理的。如果美容费用过高或与划伤治疗无直接关联，那么这部分费用可能不会被全部认定为赔偿范围。
- 例如，如果划伤只是轻微表皮损伤，而对方却选择了昂贵的美容手术进行修复，那么这部分超出必要范围的费用可能不会被支持。
证据要求：
- 对方需要提供美容费用的发票、治疗记录等证据，以证明该费用确实与划伤治疗有关且是合理的。
三、法律建议与可能的法律后果
协商解决：
- 在责任归属和费用合理性存在争议的情况下，建议双方先进行协商，尝试达成和解协议。
法律途径：
- 如果协商无果，对方可能会选择通过法律途径来维护自己的权益。在这种情况下，法院将会根据双方提供的证据和法律规定来判决赔偿责任和赔偿金额。
- 如果法院认定您需要承担赔偿责任，那么您可能需要支付对方因治疗划伤而产生的合理费用，包括但不限于医疗费、美容费（如果合理且必要）等。
反诉或抗辩：
- 如果您认为对方存在过错或美容费用不合理，您可以在法律程序中提出反诉或抗辩，以减轻或免除自己的赔偿责任。
四、实际操作建议
- 保留证据：无论您是划伤方还是被划伤方，都应保留好与事件相关的所有证据，包括现场照片、医疗记录、美容费用发票等。
- 咨询专业律师：由于侵权损害案件涉及法律专业知识和诉讼技巧，建议您在处理此类事件时咨询专业律师的意见，以确保自己的权益得到妥善维护。
总结：是否需要赔偿对方因私底下找美容机构花费的5000多元，取决于划伤行为的性质、责任归属以及美容费用的合理性等多个因素。在处理此类事件时，建议您保持冷静、保留证据，并咨询专业律师的意见。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。