敲诈勒索涉嫌刑事犯罪时，刑事拘留的期限并非固定，而是根据案件的具体情况和法律规定来决定，一般最长可达37天。以下是对这一问题的详细分析：

一、刑事拘留期限的一般规定

1. 一般情况下：

   • 依据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，公安机关对被拘留的人，若认为需要逮捕，应在拘留后的三日以内提请人民检察院审查批准。人民检察院则需在接到提请批准逮捕书后的七日以内作出决定。因此，在一般情况下，刑事拘留的最长期限为10天（3天+7天）。

2. 特殊情况下：

   • 若存在特殊情况，如案情复杂或需要进一步调查，公安机关提请审查批准的时间可延长一日至四日。加上人民检察院的审查时间，此时刑事拘留的最长期限为14天（3天+4天+7天）。

3. 对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子：

   • 公安机关提请审查批准的时间可以延长至三十日。加上人民检察院的审查时间，这种情况下刑事拘留的最长期限为37天（30天+7天）。

二、刑事拘留的性质与后续处理

• 刑事拘留只是一种临时性的强制措施，并非最终的处罚结果。其目的是为了保障刑事诉讼的顺利进行，防止犯罪嫌疑人逃避法律制裁或毁灭证据。
• 如果经过侦查，认为构成敲诈勒索罪，案件将进入后续的审查起诉和审判阶段。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，敲诈勒索公私财物，数额较大或者多次敲诈勒索的，将面临三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金的处罚；数额巨大或者有其他严重情节的，将受到三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金的惩罚；而数额特别巨大或者有其他特别严重情节的，则将面临十年以上有期徒刑，并处罚金的严厉制裁。

三、建议与总结

• 面对敲诈勒索的指控和可能的刑事拘留，建议当事人及其家属保持冷静，及时了解案件进展，并积极配合公安机关的调查工作。
• 同时，由于刑事拘留的期限和后续处理结果都受到案件具体情况和法律规定的影响，因此建议当事人及其家属在必要时向我咨询，以便获取更具体、更专业的法律建议。

总之，敲诈勒索涉嫌刑事犯罪时的拘留期限取决于案件的具体情况和法律规定。在面对此类情况时，及时咨询并了解相关法律知识是非常重要的。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我提问。