结论前置：医院因欠费扣留患者属于违法行为，患者或家属可以立即报警处理。以下是具体分析及处理建议：

一、医院行为的法律定性

1. 非法限制人身自由
   根据《民法典》第1003条及《刑法》第238条，医院无权以欠费为由扣留患者。即使存在医疗费用纠纷，医院也仅能通过民事诉讼主张债权，而非限制患者人身自由。若扣留时间较长或伴随暴力行为，可能构成非法拘禁罪。

2. 医疗合同关系的特殊性
   患者与医院形成医疗服务合同关系，医院有义务提供救治，患者有义务支付费用。但费用支付与救治义务是独立法律关系，医院不得以欠费为由中止救治或扣留患者。

二、具体处理步骤

1. 立即报警

   • 拨打110或前往派出所报案，明确说明医院扣留事实及时间、地点、参与人员。
   • 要求警方出具《受案回执》，并督促其依法调查医院行为是否构成非法拘禁或侵犯人身自由。

2. 固定证据

   • 录音录像：记录医院工作人员阻拦患者离开的对话及场景。
   • 证人证言：寻找在场医护人员或病友作为证人。
   • 医疗记录：保留病历、缴费通知等证明医疗关系存在的文件。

3. 协商与投诉

   • 向医院医务科或院长办公室投诉，要求立即放人并书面承诺不再扣留。
   • 向当地卫健委（卫生健康委员会）举报医院违法行为，卫健委有权对医疗机构进行行政处罚。

4. 民事索赔

   • 若因扣留导致人身损害（如延误治疗、精神损伤），可依据《民法典》第1179条起诉医院，主张医疗费、误工费、精神损害抚慰金等赔偿。

三、特殊情形处理

1. 患者无行为能力时
   若患者为未成年人或精神病人，家属可代为报警并主张医院侵犯监护权，同时要求社会福利机构介入。

2. 医院主张“留置权”时
   部分医院可能援引《民法典》第447条留置权抗辩，但留置权仅适用于动产（如患者财物），不适用于人身自由，该抗辩无法律依据。

四、预防建议

1. 提前沟通
   若预知无法按时缴费，可与医院协商分期付款或申请医疗救助基金，避免矛盾激化。

2. 保留缴费凭证
   定期核对医疗费用清单，确保缴费记录清晰，减少纠纷风险。

提示：若医院仍拒绝放人，可联系我进一步分析证据链完整性，或协助起草律师函督促医院履责。医疗纠纷涉及人身权益，建议优先通过行政投诉与刑事报案快速解决扣留问题，再通过民事途径解决费用争议。