在一审判决后，双方又私自达成和解，确实存在一些法律风险，具体分析如下：

1. 和解协议的效力问题：

   • 和解协议的合法性：如果双方达成的和解协议内容合法，且不违反公序良俗，那么该协议在双方之间是具有法律效力的。然而，若和解协议的内容存在违法或违背公序良俗的情况，则该协议可能被认定为无效。
   • 与判决的冲突：如果和解协议的内容与一审判决存在冲突，例如判决要求一方支付一定金额，而和解协议中该方支付的金额低于判决金额，那么在未通过合法程序（如申请执行和解或撤销原判决）变更判决的情况下，和解协议可能无法直接对抗原判决的执行。

2. 执行风险：

   • 原判决的执行：在一审判决生效后，如果一方未履行判决义务，另一方有权申请强制执行。即使双方达成了和解协议，如果未通过合法程序将和解协议的内容纳入执行程序，那么原判决仍然具有执行力，法院可能根据原判决进行强制执行。
   • 和解协议的执行：如果和解协议未经过法院确认或未形成具有执行力的法律文书（如调解书），那么在一方不履行和解协议时，另一方可能无法直接申请强制执行和解协议的内容，而需要先通过诉讼或其他方式确认和解协议的效力。

3. 诉讼时效与权利放弃：

   • 诉讼时效的中断：在双方达成和解协议后，如果一方未按照协议履行义务，另一方在诉讼时效期间内提起诉讼或申请仲裁的，诉讼时效可能会因和解协议的达成而中断，并重新计算。然而，如果和解协议中明确约定了放弃某些权利或诉讼时效的特别规定，那么需要特别注意这些条款可能对权利行使产生的影响。
   • 权利放弃的明确性：如果和解协议中包含了一方对某些权利的明确放弃，那么这种放弃通常是具有法律效力的。因此，在达成和解协议时，双方应谨慎考虑并明确约定各自的权利和义务，避免因权利放弃不明确而引发后续纠纷。

4. 建议与措施：

   • 合法程序确认：为了确保和解协议的法律效力和可执行性，建议双方通过合法程序（如申请执行和解、提起确认之诉或形成调解书等）将和解协议的内容纳入法律文书的范畴。
   • 明确约定条款：在达成和解协议时，双方应明确约定各自的权利和义务、履行方式、违约责任等条款，以避免因条款不明确而引发后续纠纷。
   • 咨询专业律师：在达成和解协议前或过程中，建议双方咨询专业律师的意见，以确保和解协议的合法性和有效性，并降低潜在的法律风险。

综上所述，一审判决后双方私自达成和解存在法律风险，包括和解协议的效力问题、执行风险、诉讼时效与权利放弃等。为了降低这些风险，建议双方通过合法程序确认和解协议的内容，并明确约定各自的权利和义务。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。