结论前置：劳务派遣员工发生工伤时，责任主要由劳务派遣单位承担，用工单位在特定情况下需承担连带赔偿责任。具体责任划分需依据法律规定和双方行为综合判定。
一、劳务派遣单位的责任
工伤保险责任：
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十八条，劳务派遣单位是用人单位，应当履行用人单位对劳动者的义务，包括缴纳工伤保险费。
- 责任承担：若劳务派遣单位为劳动者依法缴纳了工伤保险，则工伤保险基金将支付大部分工伤赔偿项目，如医疗费用、康复费用等；劳务派遣单位则需承担停工留薪期工资、伤残津贴（五至六级难以安排工作时）及一次性伤残就业补助金等费用。若未缴纳工伤保险，所有原本由工伤保险基金支付的费用也将由劳务派遣单位全额承担。
工伤认定申请：
- 劳务派遣单位应在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。若未在规定时限内提交申请，期间发生的工伤待遇等相关费用由其承担。
二、用工单位的责任
连带赔偿责任：
- 法律依据：依据《中华人民共和国劳动合同法》第九十二条第二款，若用工单位给被派遣劳动者造成损害，如提供的劳动安全设施不符合规定或强令违章作业导致工伤，劳务派遣单位与用工单位需承担连带赔偿责任。
- 责任承担：劳动者可向任一方要求赔偿，赔偿后可根据双方过错比例进行追偿。例如，若用工单位安全管理措施不到位导致工伤，劳务派遣单位在赔偿后可向用工单位追偿相应份额。
协助义务：
- 用工单位有义务协助工伤认定的调查核实工作，确保工伤认定的顺利进行。
三、具体责任承担方式
工伤保险待遇支付：
- 基金支付：劳务派遣单位依法为劳动者缴纳工伤保险费后，大部分工伤保险待遇（如医疗费用、康复费用、一次性伤残补助金等）由工伤保险基金支付。
- 单位支付：对于工伤保险基金支付范围外的费用（如停工留薪期工资福利待遇、五级和六级伤残职工按月领取的伤残津贴等），由劳务派遣单位承担。
连带赔偿责任的承担：
- 赔偿主张：劳动者可向劳务派遣单位或用工单位单独或同时主张赔偿。
- 内部划分与追偿：劳务派遣单位和用工单位在承担连带赔偿责任后，可根据双方约定或过错程度进行内部划分和追偿。
四、实际处理流程与建议
报告与申请：
- 发生工伤后，劳务派遣员工应立即向劳务派遣单位报告。劳务派遣单位应尽快提出工伤认定申请，确保劳动者能够及时获得赔偿。
投诉举报：
- 如劳务派遣单位未依法履行相关义务，劳动者有权向有关部门投诉举报以维护自身权益。
建议：
- 劳务派遣单位应严格履行缴纳工伤保险的义务，及时为劳动者申请工伤认定。
- 用工单位应提供安全的工作环境，加强安全管理，避免给劳动者造成损害。
- 双方应在劳务派遣协议中明确责任分担和权益保障条款，以减少纠纷的发生。
- 在发生工伤事故时，各方应积极协商处理，确保劳动者能够及时获得应有的赔偿和治疗。
五、案例分析
例如，小张作为某劳务派遣公司派遣到建筑工地的员工，在工作中因脚手架倒塌受伤。若劳务派遣公司已为小张缴纳工伤保险，则工伤保险基金将支付相应工伤待遇；若建筑工地存在管理不善等过错导致工伤，建筑工地需与劳务派遣公司承担连带赔偿责任。若劳务派遣公司未缴纳工伤保险，则小张的所有工伤赔偿费用将由劳务派遣公司承担，且建筑工地在有过错的情况下同样需承担连带责任。
综上所述，劳务派遣员工发生工伤时，应明确劳务派遣单位作为主要责任主体承担工伤保险责任，用工单位在特定情况下需承担连带赔偿责任并负有协助处理义务。劳动者应了解自身权益，及时报告并采取相应措施维护自身合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。