判决书和调解书申请执行的期限主要涉及申请执行的时效期间、执行开始及完成的时间、超过执行期限的处理，以及特殊情况下的执行规定。以下是对这些方面的详细解释：

1. 申请执行的时效期间

   • 根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关法律解释，申请执行的时效期间一般为二年。这一时效期间从法律文书规定履行期间的最后一日起计算；若法律文书规定分期履行，则从每次履行期间的最后一日起分别计算；若法律文书未规定履行期间，则从法律文书生效之日起计算。此期间内，申请执行时效可依法中止或中断。

2. 执行开始及完成的时间

   • 一般执行案件：法院应当自立案之日起六个月内执行完毕。若案件复杂，存在需要调查取证、处理案外人异议等情形，执行期限可能会相应延长，但法院会依据实际情况进行合理安排并向当事人说明情况。
   • 非诉执行案件：执行期限更短，一般应当在立案之日起三个月内执结。
   • 中止执行的情况：如果执行过程中出现中止执行的情况（如被执行人提出异议、需等待其他案件结果等），这段时间将不计入执行期限内。

3. 超过执行期限的处理

   • 若法院在规定的执行期限内未开始执行或未执行完毕，申请执行人可以向上一级人民法院申请执行。上一级人民法院经审查后，可以责成原人民法院在一定期限内执行，也可以决定由本院执行或者指令其他人民法院执行。

4. 特殊情况下的执行规定

   • 无财产可供执行：若因被执行人没有可供执行的财产等原因导致执行程序无法继续推进，申请执行人在之后发现被执行人有可供执行的财产时，可以再次申请执行。这种情况下，申请执行不受二年时效期间的限制。
   • 延长执行期限：若因特殊原因需要延长执行期限，应当报请本院院长或副院长批准，并在期限届满前五天内提出。

实例分析： 假设甲在2023年1月1日收到生效判决书，判决书规定乙应在2023年1月31日前一次性履行付款义务。那么，甲申请执行的期限从2023年2月1日开始计算，至2025年1月31日截止。若甲在此期间内向法院申请执行，法院一般应在收到申请执行书之日起六个月内执行完毕（对于非诉执行案件则为三个月）。若执行过程中遇到复杂情况需要延长执行期限，法院会依据实际情况进行合理安排并告知当事人。若法院未在规定期限内执行完毕，甲可以向上一级人民法院申请执行以维护自身权益。

综上所述，判决书和调解书的申请执行期限是一个涉及多个因素的问题。作为申请执行人，你应密切关注执行进展，并在必要时采取法律手段确保自身权益得到及时有效的维护。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。