结论前置：打架打掉他人三颗牙，其法律后果需根据伤情鉴定结果及案件性质综合判断。若构成轻伤二级，则可能面临刑事处罚及民事赔偿；若不构成轻伤，则一般属于治安案件，将受到行政处罚，并仍需承担民事赔偿责任。以下是对此问题的详细分析：
一、伤情鉴定与案件性质
伤情鉴定：
- 根据《人体损伤程度鉴定标准》，牙齿脱落或牙折2枚以上即构成轻伤二级。因此，打架打掉他人三颗牙，通常会被认定为轻伤二级。但具体还需由专业医疗机构进行细致评估并出具正式鉴定报告。
案件性质：
- 刑事案件：若伤情鉴定结果为轻伤二级，打人者涉嫌故意伤害罪，将面临刑事追诉。依据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。具体量刑由法院根据案情和证据裁定，会综合考虑犯罪嫌疑人的主观故意、犯罪手段、自首、立功、坦白情节以及是否积极赔偿受害人并取得谅解等因素。
- 治安案件：若伤情鉴定不构成轻伤，则属于治安案件。根据《治安管理处罚法》第四十三条，殴打他人的，处五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。特定情形下（如结伙殴打、伤害特殊人群等），处罚将更加严厉。
二、民事赔偿责任
- 无论案件性质如何，行为人均需对伤者承担民事赔偿责任。赔偿项目包括医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。若造成残疾，还应赔偿辅助器具费和残疾赔偿金。
- 解决途径：双方可协商达成赔偿协议；协商不成时，受害人可向法院提起民事诉讼，由法院依法判决。
三、特殊情况的考虑
- 在判断伤情时，需特别注意区分乳牙与恒牙。乳牙脱落通常不会被视为严重伤害，而恒牙脱落则可能构成轻伤或重伤。不过，在此案例中，已经明确是三颗牙脱落，通常指的是恒牙。
- 打架的具体方式和手段也会影响量刑。例如，使用凶器或特别残忍的手段造成的伤害，通常会受到更严厉的惩罚。
四、法律建议
打架是违法行为，不仅会对受害者造成身体和精神上的伤害，也会给行为人带来严重的法律后果。因此，我建议：
- 遵守法律法规：公众应遵守法律法规，尊重他人的权利和尊严，以和平、理性的方式解决矛盾和纠纷。
- 寻求法律途径：在发生冲突时，应寻求法律途径解决问题，避免采取暴力手段。
- 及时咨询：若不幸遭遇此类事件，应及时报警并寻求法律帮助，以维护自身合法权益。你可以直接向我咨询相关法律问题，我会为你提供专业的解答和建议。
综上所述，打架打掉他人三颗牙的法律后果是严重的，可能涉及刑事责任和民事赔偿责任。因此，在处理此类问题时，应严格遵守法律法规，尊重他人的身体健康权，以和平、理性的方式解决纠纷。