拘留证下发后，犯罪嫌疑人或被告人是有可能申请取保候审的，但具体能否成功取决于案件的具体情况和是否符合取保候审的条件。以下是对此问题的详细解答：
一、取保候审的适用条件
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，取保候审主要适用于以下几种情况：
可能判处较轻刑罚：包括可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的情况。如果犯罪嫌疑人或被告人可能被判处这些较轻的刑罚，那么他们有可能被允许取保候审。
不致发生社会危险性：对于可能判处有期徒刑以上刑罚的犯罪嫌疑人，若采取取保候审措施不致发生社会危险性，也可申请取保候审。这需要考虑犯罪性质、情节、认罪态度及悔罪表现等因素。例如，如果犯罪嫌疑人初次犯罪，且犯罪情节较轻，认罪态度好，有悔罪表现，那么取保候审的可能性就相对较大。
特殊身体状况：患有严重疾病、生活不能自理，或者怀孕、正在哺乳自己婴儿的妇女，在不致发生社会危险性的情况下，可以申请取保候审。这是出于对特殊人群的关怀和保护。
羁押期限届满：当羁押时间达到法律规定的期限，但案件尚未办结时，可采取取保候审措施。这是为了保障犯罪嫌疑人的合法权益，避免超期羁押。
二、拘留与取保候审的关系
拘留的性质：拘留是公安机关、人民检察院对直接受理的案件，在侦查过程中，遇到法定的紧急情况时，对于现行犯或者重大嫌疑分子所采取的临时剥夺其人身自由的强制方法。拘留证下发，意味着犯罪嫌疑人已经被正式拘留。
取保候审的申请时机：被拘留的人或其家属可以在拘留期间向办案机关提出取保候审的申请。办案机关会根据案件的具体情况和法律规定来决定是否批准。因此，拘留证下发后，并不意味着就不能申请取保候审了。
三、取保候审的申请流程
提出申请：被拘留的人或其家属可以向办案机关（如公安机关、人民检察院或人民法院）提出取保候审的申请。申请时，需要提交书面申请，并说明申请取保候审的理由和拟采取的保证方式（如人保或财保）。
审查决定：办案机关会对申请进行审查，并根据案件的具体情况和法律规定来决定是否批准取保候审。审查过程中，办案机关会考虑犯罪嫌疑人的犯罪情节、社会危险性、身体状况等因素。
执行取保候审：如果申请获得批准，被拘留的人将需要提供保证人或者交纳保证金，并遵守相关的规定和限制。例如，保证人需要具备一定的条件，如与本案无牵连、有能力履行保证义务等；交纳保证金则需要根据犯罪嫌疑人的经济状况和案件情况来确定金额。
四、注意事项
及时申请：由于取保候审的申请需要一定的时间来审查，因此建议被拘留的人或其家属在拘留后尽快提出申请，以免错过最佳时机。
遵守规定：如果被批准取保候审，被拘留的人必须严格遵守相关的规定和限制，如不得离开指定的居住地、不得干扰证人作证等。否则，可能会被撤销取保候审并被重新收押。
举例说明：假设张三因涉嫌盗窃被公安机关拘留，并下发了拘留证。张三的家属认为张三初次犯罪，且犯罪情节较轻，认罪态度好，有悔罪表现，同时张三患有严重疾病需要治疗。因此，张三的家属向公安机关提出了取保候审的申请，并提交了相关的医疗证明和保证人信息。公安机关经过审查后，认为张三符合取保候审的条件，于是批准了申请。张三在提供保证人后，被允许取保候审，并回家接受治疗。
综上所述，拘留证下发后，犯罪嫌疑人或被告人是有可能申请取保候审的。但具体能否成功，需要看案件的具体情况和是否符合取保候审的条件。如果你或你身边的人遇到了类似的情况，可以直接向我咨询，我会根据具体情况给出专业的法律建议。