结论：六年前租房没备案且合同丢失的情况下，合同一般无法补办，但可通过其他方式证明租赁关系存在；备案能否补办需分情况讨论。以下是具体分析：
合同补办方面
由于合同是双方达成租赁合意的书面凭证，一旦丢失且没有留存副本，从常规意义上来说是无法“补办”出原合同的。不过，这并不意味着无法证明租赁关系的存在，你可以通过以下途径来收集能证明租赁关系的证据：
- 寻找其他书面证据：比如租房时与房东的聊天记录、邮件往来，其中可能提及租房的关键信息，如租金、租期、房屋地址等；还有租金支付凭证，像银行转账记录、收据等，这些都能从侧面证明你与房东之间存在租赁关系。
- 寻找证人证言：如果有共同居住的室友、邻居或者了解你们租房情况的朋友，他们可以作为证人出具证言，证明你曾经租赁过该房屋以及租赁的大致情况。
备案补办方面
- 部分地区可能允许补办：在一些城市，对于历史遗留的未备案租赁合同，如果符合一定的条件，比如租赁双方能够提供足够的证据证明租赁关系的存在，且房屋本身不存在违法违规等不能备案的情形，住房租赁管理部门可能会允许补办备案。你需要前往当地负责住房租赁备案的部门，如房地产管理部门或街道办等，咨询具体的补办政策和要求，按照他们的指引准备相关材料并办理手续。
- 部分地区可能无法补办：有些地区可能由于政策规定或者时间久远等原因，对于超过一定期限的未备案租赁合同不再允许补办。这种情况下，虽然备案无法补办，但前面提到的证明租赁关系存在的证据，在涉及租赁纠纷时，依然可以作为维护你合法权益的依据。
后续建议
为了避免类似情况再次发生以及更好地保障自己的权益，在今后的租赁活动中，一定要注意以下几点：
- 签订书面合同：务必与房东签订详细、规范的书面租赁合同，明确双方的权利义务，如租金、租期、维修责任、违约责任等。
- 及时办理备案：按照当地的规定，在合同签订后的一定期限内，及时办理住房租赁备案手续，这样可以在发生纠纷时获得更多的法律保障。
- 妥善保存合同及相关凭证：将租赁合同以及租金支付凭证、水电费缴纳凭证等相关文件妥善保存，以备不时之需。
如果你在处理这个问题过程中遇到任何疑问或者需要进一步的帮助，随时都可以问我。