核心结论：原代课老师补缴保险但没有劳动合同的情况下，可通过收集其他证据证明劳动关系存在，进而要求补缴保险或维护相关权益。以下是具体分析：

1. 劳动关系认定不局限于劳动合同
   根据《关于确立劳动关系有关事项的通知》（劳社部发〔2005〕12号），劳动关系成立需满足三个核心条件：

   • 双方主体资格合法（如学校具备用工主体资格，老师具备劳动者资格）；
     
   • 劳动者受用人单位管理（如遵守学校规章制度、接受考勤管理）；
     
   • 劳动者提供的劳动是用人单位业务的组成部分（如代课属于学校教学业务）。
     即使没有书面劳动合同，只要能通过其他证据证明上述条件，仍可认定劳动关系存在。

2. 可替代劳动合同的证据类型
   若缺乏书面合同，可通过以下证据证明劳动关系：

   • 工资支付记录：如银行流水（显示学校账户转账）、工资条、现金签收记录等；
     
   • 工作证明材料：如工作证、服务证、考勤表、教学计划、学生名单、同事证言等；
     
   • 沟通记录：如与学校负责人关于工作安排、工资发放的微信、短信、邮件等；
     
   • 其他关联证据：如学校为老师购买的商业保险记录、参与学校活动的照片或视频等。
     这些证据需形成完整链条，证明劳动者实际为学校提供了劳动。

3. 补缴保险的具体操作路径

   • 向社保部门投诉：携带上述证据，向当地社保稽核部门提交书面投诉材料，要求学校补缴社保。社保部门会依法调查，若认定劳动关系存在，会责令学校补缴；
     
   • 申请劳动仲裁：若社保部门未处理或学校拒不执行，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，确认劳动关系并要求补缴社保。仲裁裁决后，学校仍不履行的，可申请法院强制执行；
     
   • 注意时效问题：根据《劳动争议调解仲裁法》，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或应当知道权利被侵害之日起计算。但社保补缴争议可能适用特殊时效规定，建议尽快行动。

4. 特殊情况处理

   • 若学校否认劳动关系：需重点收集工资支付、工作管理等方面的证据，证明双方存在事实劳动关系；
     
   • 若代课时间较短或证据不足：可尝试与学校协商补缴，或要求学校出具书面说明（如“因历史原因未签订合同，但承认XX年至XX年期间存在劳动关系”），以补充证据；
     
   • 若学校已注销或无法联系：可向当地教育主管部门反映情况，寻求协助处理。

温馨提示：社保补缴涉及劳动者切身利益，建议优先通过协商或行政投诉解决，效率较高；若协商无果，再通过法律途径维权。过程中如有疑问，可随时向我咨询，我会结合具体证据为您分析操作方案。