结论：部门委托出去给别人经营，并不影响员工与公司之间因未签劳动合同而产生的劳动仲裁关系，公司仍需承担相应责任。

详细分析：

1. 劳动合同的签订主体：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，劳动合同是劳动者与用人单位之间确立劳动关系、明确双方权利和义务的协议。这里的“用人单位”指的是与劳动者建立劳动关系的组织或个人，通常是公司、企业等。
   • 无论公司的部门是否委托给第三方经营，公司作为用人单位的法律地位并未改变。因此，公司仍需与员工签订劳动合同，并承担未签劳动合同的法律责任。

2. 部门委托经营的影响：

   • 部门委托经营是公司内部的一种管理方式或经营策略，它并不改变公司与员工之间的劳动关系。员工仍然是在为公司工作，受公司的管理和支配，享受公司提供的劳动条件和待遇。
   • 因此，即使部门委托给了第三方经营，公司也不能以此为由拒绝与员工签订劳动合同或逃避未签劳动合同的法律责任。

3. 劳动仲裁中的责任承担：

   • 如果员工因未签劳动合同而向劳动仲裁机构提起仲裁，公司作为用人单位将是仲裁的被申请人。
   • 劳动仲裁机构将根据事实和法律，裁决公司是否应承担未签劳动合同的法律责任，如支付双倍工资、补签劳动合同等。

4. 特殊情况下的责任划分：

   • 如果在部门委托经营的过程中，第三方实际承担了用人单位的职责，如招聘、管理、支付工资等，并且员工也明确知道并接受了这一安排，那么在某些特定情况下，可能会涉及责任划分的问题。
   • 但这种情况需要具体的证据和事实来支持，并且通常需要通过法律程序来确定责任主体。在一般情况下，公司作为原用人单位仍需承担主要责任。

建议：

• 公司角度：公司应加强与员工的沟通，明确劳动关系和合同签订情况。即使部门委托给了第三方经营，也应确保与员工签订劳动合同，并履行用人单位的职责。
• 员工角度：如果员工发现公司未与其签订劳动合同，应及时向公司提出要求签订合同或向劳动仲裁机构提起仲裁。在仲裁过程中，员工应提供相关证据来证明其与公司之间的劳动关系和未签合同的事实。

可能后果：

• 如果公司未与员工签订劳动合同，员工有权要求公司支付双倍工资作为赔偿。
• 公司还可能面临劳动行政部门的处罚，如罚款、责令改正等。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。