判决书下来后，当事人是否能申请抗诉主要取决于判决是一审还是二审，以及是否在上诉期限内，且抗诉与上诉是两个不同的法律程序，需分别讨论：

一、关于上诉

1. 一审判决的上诉：

   • 上诉期限：对于民事判决书，当事人不服地方人民法院第一审判决的，有权在判决书送达之日起十五日内向上一级人民法院提起上诉；对于刑事判决书，不服判决的上诉期限为十日，从接到判决书的第二日起算。
   • 上诉条件：在上诉期限内，若当事人认为判决书存在错误、适用法律不当或审判程序违法等情况，均有权提起上诉。
   • 上诉流程：上诉需向原审法院或上一级法院提交上诉状，上诉状应详细写明上诉人和被上诉人的基本信息、上诉的请求和理由、原审法院名称、案件的编号和案由等内容。

2. 二审判决的上诉：

   • 对于民事、行政案件的二审判决，其为终审判决，意味着该判决具有最终法律效力，通常情况下不能再上诉。

二、关于抗诉

抗诉是检察机关对法院判决、裁定认为确有错误时，依法向法院提出重新审理要求的诉讼活动。它不同于上诉，上诉是当事人对判决不服时向上一级法院提出的请求，而抗诉是检察机关对判决的监督。

1. 抗诉的主体与条件：

   • 抗诉的主体是检察机关，而非当事人。当事人不能直接申请抗诉，但可以向检察机关提出申诉，请求检察机关对判决进行审查。
   • 检察机关认为判决确有错误，如事实认定不清、法律适用错误或审判程序违法等，才会提出抗诉。

2. 抗诉的流程与后果：

   • 检察机关提出抗诉后，法院会启动再审程序，对原判决进行重新审理。
   • 如果再审法院认为原判决确有错误，会依法改判或撤销原判决，发回重审。

三、综合分析与建议

1. 若判决为一审且在上诉期限内：

   • 当事人应优先考虑上诉，通过上诉程序寻求救济。

2. 若判决为二审或已过上诉期限：

   • 当事人可以向检察机关提出申诉，请求检察机关对判决进行审查。如果检察机关认为判决确有错误，会提出抗诉，启动再审程序。

3. 重要提示：

   • 当事人在收到判决书后，应首先确认该判决是一审还是二审，并仔细查看上诉期限。
   • 如需在上诉期限内提起上诉，应尽快准备上诉状并提交给相关法院。
   • 若超过上诉期限或有其他疑问，建议及时向我咨询，以了解可行的法律救济途径。

总结来说，判决书下来后，当事人不能直接申请抗诉，但可以通过向检察机关提出申诉的方式，请求检察机关对判决进行审查。如果判决为一审且在上诉期限内，当事人应优先考虑上诉。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。