结论：一般情况下，员工因手指甲在外面受伤不能上班，厂里主任不能随意开除员工。但具体是否会被开除，还需根据受伤原因、是否属于工伤、公司的规章制度以及劳动合同的约定等多种因素来综合判断。

分析说明：

1. 工伤认定情况：

   • 如果手指甲受伤是在工作过程中因工作原因导致的，那么这很可能构成工伤。根据《工伤保险条例》的规定，员工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。在这种情况下，员工有权享受工伤保险待遇，包括医疗期、医疗费用报销、停工留薪期工资等。公司不能因为员工受伤不能上班而随意开除员工，否则可能构成违法解除劳动合同，需要承担相应的法律责任。
   • 如果手指甲受伤并非工作原因导致，比如是在下班后或休假期间自己不小心受伤，那么这种情况通常不被认定为工伤。但即便如此，公司也不能随意开除员工，除非员工存在严重违反公司规章制度或劳动合同约定的情形。

2. 公司规章制度与劳动合同：

   • 公司规章制度和劳动合同是公司管理员工的重要依据。如果公司规章制度或劳动合同中明确规定了员工因伤不能上班的处理方式，比如需要提供医疗证明、按照病假处理等，那么公司应当按照这些规定来执行。
   • 如果公司规章制度或劳动合同中没有相关规定，或者规定不明确，那么公司不能单方面以员工受伤不能上班为由开除员工。否则，员工有权向劳动争议调解仲裁机构或人民法院提起诉讼，维护自己的合法权益。

3. 开除员工的合法条件：

   • 根据《劳动合同法》的规定，公司开除员工需要满足一定的合法条件，比如员工严重违反公司规章制度、严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害、被依法追究刑事责任等。
   • 如果员工仅仅是因为手指甲受伤不能上班，而没有其他违反公司规章制度或劳动合同约定的行为，那么公司开除员工的行为很可能构成违法解除劳动合同。

行动建议：

• 保留证据：如果员工手指甲受伤，建议及时保留相关证据，如医疗证明、事故现场照片等，以便在需要时证明受伤原因和过程。
• 与公司沟通：员工可以与公司沟通，了解公司对于员工受伤不能上班的处理方式，并要求公司按照相关规定执行。
• 寻求法律援助：如果公司违反相关规定开除员工，员工可以向劳动争议调解仲裁机构或人民法院提起诉讼，维护自己的合法权益。在这个过程中，员工可以寻求专业律师的帮助，以便更好地维护自己的权益。

后续思考依据：

• 在处理类似劳动纠纷时，需要综合考虑多种因素，包括受伤原因、是否属于工伤、公司规章制度、劳动合同约定以及相关法律法规等。
• 员工在维护自己权益的过程中，应当保持冷静和理性，通过合法途径来解决问题，避免采取过激行为导致事态恶化。

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