结论：老公谩骂老婆，老婆要求赔偿并公开道歉，在符合一定法律条件的情况下是合法的。以下从多个角度进行分析：
一、人格权保护的法律基础
根据《中华人民共和国民法典》中关于人格权的相关规定，自然人享有生命权、身体权、健康权、姓名权、肖像权、名誉权、荣誉权、隐私权等人格权。谩骂行为若对老婆的名誉权、人格尊严等造成损害，即构成对人格权的侵犯。
二、赔偿与公开道歉的法律依据
赔偿请求：
- 若谩骂行为导致老婆精神损害或财产损失，根据《民法典》中关于侵权责任的规定，受害者有权要求侵权者承担赔偿责任。赔偿范围可能包括精神损害抚慰金、因谩骂行为导致的直接经济损失等。
公开道歉请求：
- 公开道歉是恢复名誉、消除影响的一种方式。若谩骂行为在公开场合发生，或对老婆的社会评价造成了负面影响，老婆有权要求老公在适当范围内公开道歉，以恢复其名誉。
三、合法性的具体条件
谩骂行为的性质：
- 谩骂行为必须达到一定的严重程度，足以构成对老婆人格权的侵犯。轻微的争吵或口角，通常不构成法律上的侵权。
损害后果的证明：
- 老婆需要证明谩骂行为对其造成了实际的损害后果，如精神痛苦、社会评价降低等。这通常需要通过证据来支持，如证人证言、录音录像、医疗记录等。
因果关系的证明：
- 老婆还需要证明谩骂行为与损害后果之间存在因果关系，即损害后果是由谩骂行为直接导致的。
四、实际操作中的建议
收集证据：
- 在发生谩骂行为时，老婆应尽可能收集相关证据，如录音录像、证人证言、聊天记录等，以证明谩骂行为的存在及其造成的损害后果。
协商与调解：
- 在提起法律诉讼之前，双方可以尝试通过协商或调解的方式解决纠纷。这有助于节省时间和成本，同时维护家庭关系的和谐。
提起法律诉讼：
- 若协商或调解无果，老婆可以向人民法院提起民事诉讼，要求老公承担赔偿责任并公开道歉。在诉讼过程中，老婆需要提交充分的证据来支持其诉讼请求。
五、可能的法律后果
若诉讼请求得到支持：
- 老公可能需要承担赔偿责任，支付精神损害抚慰金等费用，并在适当范围内公开道歉。
若诉讼请求被驳回：
- 若老婆无法提供充分的证据证明谩骂行为的存在及其造成的损害后果，或法院认为谩骂行为不构成对人格权的侵犯，则老婆的诉讼请求可能被驳回。
总结与建议：老公谩骂老婆，在符合一定法律条件的情况下，老婆要求赔偿并公开道歉是合法的。然而，具体是否合法以及赔偿金额、道歉方式等，需要根据谩骂行为的性质、损害后果的证明以及因果关系的证明等因素来综合判断。因此，建议老婆在发生此类纠纷时，及时收集证据并咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。