核心结论：遇到这种情况，首先要确保孩子安全并送医治疗，随后立即报警，通过法律途径追究司机责任并索赔。以下是具体处理步骤和法律分析：

1. 立即采取紧急措施

• 确保孩子安全：第一时间检查孩子伤势，若伤情严重需立即拨打120送医救治，切勿因追赶司机而延误治疗。
• 保护现场：若孩子意识清醒，可尝试记录车牌号、车辆颜色、型号等特征；若现场有目击者，尽量留存其联系方式以便后续作证。

2. 立即报警并配合调查

• 报警义务：根据《道路交通安全法》第70条，发生交通事故后，车辆驾驶人应立即停车、保护现场，并迅速报告公安机关。司机逃离现场已涉嫌交通肇事逃逸，可能面临行政处罚（如拘留、罚款、吊销驾照）或刑事责任（若构成犯罪）。
• 配合警方：向警方提供所有已知线索（如车辆特征、逃逸方向等），协助调取周边监控或通过“天网系统”追踪车辆。警方立案后，会出具《交通事故责任认定书》，这是后续索赔的关键证据。

3. 法律责任与索赔途径

• 司机责任：
  • 行政责任：逃逸行为违反《道路交通安全法》第99条，可处200-2000元罚款，并处15日以下拘留。
  • 民事责任：司机需赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费等合理费用；若造成残疾或死亡，还需赔偿残疾赔偿金、死亡赔偿金等。
  • 刑事责任：若逃逸导致事故责任无法认定，或造成重伤、死亡等严重后果，司机可能构成《刑法》第133条规定的交通肇事罪，面临3年以下有期徒刑或拘役；若逃逸后致人死亡，刑期可升至7年以上。
• 索赔流程：
  1. 治疗优先：先全力救治孩子，保留所有医疗票据、诊断证明等材料。
  2. 协商或诉讼：待孩子伤情稳定后，可与司机或其保险公司协商赔偿；若协商无果，可向法院提起民事诉讼，要求司机及保险公司（如有）承担赔偿责任。
  3. 申请救助基金：若司机无力赔偿或逃逸未归案，可依据《道路交通事故社会救助基金管理试行办法》申请救助基金垫付部分费用。

4. 特殊情形处理

• 司机身份不明：若警方暂未找到司机，可要求交警部门出具《交通事故证明》，后续通过诉讼向保险公司（如车辆投保交强险）主张权利，或申请道路交通事故社会救助基金。
• 孩子监护责任：若监护人未尽到看护义务（如让孩子独自在马路玩耍），可能需承担部分责任，但司机逃逸行为本身已构成重大过错，不影响其主要赔偿责任。

5. 后续预防与建议

• 加强安全教育：日常教育孩子遵守交通规则，避免在危险区域玩耍。
• 保留证据意识：未来若遇类似情况，优先拍照、录像留存现场证据，并尽快报警。
• 法律咨询：若对赔偿标准、流程有疑问，可随时向我咨询，我会根据具体案情提供详细指导。

总结：司机逃逸行为性质恶劣，需通过法律手段严惩并追责。当前首要任务是救治孩子、报警立案，后续依法索赔。如有进一步疑问或需要协助，请随时告知具体细节，我会为您制定详细方案。