在肇事逃逸后找到对方的情况下，为有效维护您的合法权益，您可以按照以下详细步骤进行处理，并了解相关的法律知识点：
一、立即报警并配合警方调查
报警的重要性：
- 事故发生后，即使肇事者当时逃逸，您也应立即报警。找到肇事者后，更应第一时间通知警方，以便警方及时介入，开展调查工作。
配合警方调查：
- 如实向交警陈述事故发生的经过，提供您所掌握的所有证据和线索，如现场照片、视频、肇事者的身份信息、车辆信息等。
- 警方将依据《道路交通事故处理程序规定》进行现场勘查、收集当事人陈述等，以还原事故真相。
二、等待责任认定
责任认定的流程：
- 交警部门将在规定时间内出具道路交通事故认定书，明确双方在事故中的责任比例。
法律责任的分析：
- 通常，肇事逃逸者会被认定为承担全部责任。但如果有证据证明对方当事人也有过错的，可以减轻肇事者的责任。
三、要求民事赔偿
协商赔偿：
- 拿到责任认定书后，您可以与肇事者及其保险公司进行协商，就赔偿事宜达成一致。赔偿项目包括但不限于医疗费、误工费、护理费、残疾赔偿金、死亡赔偿金以及车辆维修费用等。
申请调解：
- 若协商不成，您可以向交警部门申请调解。交警会召集双方进行损害赔偿调解，促使双方达成赔偿协议。
提起诉讼：
- 若调解不成或一方不履行调解协议，您可以向法院提起民事诉讼。在诉讼过程中，您需要收集和整理相关证据，以支持您的赔偿请求。
四、追究肇事者的行政或刑事责任
行政责任：
- 根据《中华人民共和国道路交通安全法》，肇事逃逸尚不构成犯罪的，肇事者可能面临罚款、拘留的处罚，且其驾驶证将被吊销，终生不得重新取得。
刑事责任：
- 若事故造成严重后果，如重伤、死亡或重大财产损失，肇事者可能构成交通肇事罪。根据法律规定，肇事者可能面临三年以下有期徒刑至七年以上有期徒刑的刑罚。
五、寻求法律援助与保留证据
法律援助：
- 在协商赔偿或处理法律纠纷过程中，如果您认为赔偿方案不合理或遇到法律难题，可以寻求法律援助或聘请律师。律师将为您提供专业建议，并代表您进行谈判或诉讼。
保留证据：
- 务必保留好所有与事故相关的证据，包括现场照片、视频、医疗记录、责任认定书、赔偿协议等。这些证据对索赔和追究法律责任至关重要。
六、申诉与司法途径
申诉：
- 如果您对警方的处理结果不满意，可以向上一级公安机关提出申诉，要求重新审查或处理。
司法途径：
- 如果您认为肇事者应承担更严重的法律责任，可以通过司法途径维护自身权益。例如，向法院提起刑事自诉或要求加重刑事处罚等。
总结与建议
找到肇事者是维权的重要起点，但随后的处理同样关键。请您保持冷静，依法行事，通过报警、协商、调解、诉讼等合法途径维护自身权益。同时，注重证据的收集和保留，以确保在需要时能够有力支持自己的主张。在整个过程中，如有必要，可寻求专业律师的法律援助，以确保自身合法权益得到最大程度的保障。