针对私自倾倒畜禽废物的行为，根据不同情况，处理方式如下：

1. 民事责任
   若倾倒行为导致他人财产损失（如污染农田、水源导致农作物减产或养殖物死亡），受害方可依据《民法典》第1229条要求侵权人承担民事赔偿责任，包括直接损失（如清理费用、财产贬值）和间接损失（如预期收益减少）。赔偿范围需以实际损失为限，需受害方提供损失证明（如评估报告、交易记录等）。

2. 行政责任
   根据《固体废物污染环境防治法》第102条，私自倾倒畜禽废物属于“擅自倾倒、堆放、丢弃、遗撒固体废物”行为，由生态环境主管部门责令改正，处以十万元以上一百万元以下罚款；情节严重的，报经有批准权的人民政府批准，可责令停业或关闭。若倾倒地点涉及自然保护区、饮用水水源保护区等敏感区域，罚款上限可能提升至二百万元（《环境保护法》第59条）。

3. 刑事责任
   若倾倒行为造成严重环境污染（如土壤重金属超标、地下水污染导致人畜中毒），可能触犯《刑法》第338条“污染环境罪”。根据污染后果严重程度，可处三年以下有期徒刑或拘役，并处或单处罚金；后果特别严重的（如多人重伤、重大财产损失），处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。需注意，刑事立案需满足“严重污染环境”的法定情形，如“致使公私财产损失三十万元以上”“致使基本农田、防护林地五亩以上基本功能丧失”等。

补充说明：

• 若倾倒行为伴随伪造、隐瞒倾倒地点等情节，可能构成“妨害公务罪”或“污染环境罪的加重情节”。
  
• 实践中，行政处罚与民事赔偿可并行处理，但刑事责任需独立承担，不因民事赔偿或行政处罚而免除。
  
• 建议涉事方立即停止倾倒行为，主动联系生态环境部门报告情况，配合调查并采取补救措施（如清理废物、修复环境），以减轻法律责任。

如有具体案件细节（如倾倒量、地点、后果等），可进一步向我咨询，我会结合证据材料提供更精准的分析。