在交通事故索赔案件中，法院不支持的部分诉讼费，通常是由提出该部分诉求的当事人自行承担。以下是对这一问题的详细分析：
一、诉讼费承担的一般原则
在民事诉讼中，诉讼费的承担通常遵循“谁败诉，谁承担”的原则。这意味着，如果法院最终判决某一方当事人败诉，那么该方通常需要承担相应的诉讼费用，包括案件受理费、申请费等。这一原则旨在体现诉讼的公平性和合理性，确保败诉方承担因其诉讼行为而给对方和法院带来的额外负担。
二、交通事故索赔案件中的特殊情况
在交通事故索赔案件中，如果原告提出的某些诉求被法院驳回或未得到支持，那么对于这部分未获支持的诉求所产生的诉讼费用，通常由原告自行承担。这是因为原告作为诉讼的发起者，有责任确保其提出的诉求具有合理性和法律依据。如果法院认为原告的诉求缺乏事实或法律依据，那么原告应当承担因此产生的诉讼费用。
三、诉讼费承担的具体情形
部分诉求被驳回：如果原告在交通事故索赔案件中提出了多项诉求，但其中部分诉求被法院驳回，那么对于这部分被驳回的诉求所产生的诉讼费用，通常由原告自行承担。
诉求未获全额支持：即使原告的部分诉求得到了法院的支持，但如果法院并未全额支持其诉求金额，那么对于未获支持的部分所产生的诉讼费用，也可能由原告自行承担。这取决于法院的具体判决和诉讼费分担原则的应用。
双方均有责任：在某些情况下，法院可能认为双方当事人对交通事故的发生均负有一定责任。在这种情况下，诉讼费用可能会根据双方的责任比例进行分担。但即使如此，对于原告未获支持的诉求部分所产生的诉讼费用，仍可能由原告自行承担。
四、建议与注意事项
合理评估诉求：在提起交通事故索赔诉讼前，原告应合理评估其诉求的合理性和法律依据，避免提出过高或无法实现的诉求，以减少不必要的诉讼费用支出。
保留相关证据：为了支持其诉求并增加胜诉的可能性，原告应尽可能保留与交通事故相关的所有证据，包括医疗记录、事故现场照片、证人证言等。
咨询专业律师：在提起诉讼前或诉讼过程中，原告可以咨询专业律师以获取更具体的法律建议和诉讼策略指导。作为专业律师，我可以根据您的具体情况提供针对性的法律建议和帮助。
关注法院判决：在诉讼过程中，原告应密切关注法院的判决和诉讼费分担原则的应用情况，以便及时调整其诉讼策略和应对措施。
综上所述，在交通事故索赔案件中，法院不支持的部分诉讼费通常由提出该部分诉求的当事人自行承担。因此，在提起诉讼前，原告应合理评估其诉求并咨询专业律师以获取更具体的法律建议。如果您有任何关于交通事故索赔的法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。