在嫌疑人被关押后，检察院在以下情况下通常会进行提审：
案件进入审查起诉阶段：当公安机关将案件侦查终结并移送至检察院审查起诉时，检察院会依法对嫌疑人进行提审。这是为了核实案件事实、证据，确保起诉的准确性和合法性。提审过程中，检察院会询问嫌疑人对指控犯罪事实的意见，听取其供述和辩解，并告知其享有的诉讼权利。
需要补充侦查或核实证据：在审查起诉过程中，如果检察院发现案件事实不清、证据不足，或者需要进一步核实某些证据，可能会决定对嫌疑人进行提审。通过提审，检察院可以更直接地了解案件情况，获取更多线索，以便作出更准确的起诉决定。
嫌疑人提出申诉或控告：如果嫌疑人在关押期间提出申诉或控告，如认为自己的合法权益受到侵害，或者对案件处理有异议，检察院在接到申诉或控告后，可能会决定对嫌疑人进行提审，以了解具体情况并作出相应处理。
其他特殊情况：除了上述常见情况外，还有一些特殊情况下检察院也可能会对嫌疑人进行提审。例如，当案件涉及重大社会影响、需要听取嫌疑人意见以作出公正处理时；或者当检察院认为有必要直接了解嫌疑人的思想动态、悔罪表现等，以便更全面地评估案件情况时。
法律背景与建议：
法律背景：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，检察院在审查起诉阶段有权对嫌疑人进行提审。提审是检察院履行审查起诉职责的重要方式之一，也是保障嫌疑人诉讼权利的重要环节。
法律建议：对于嫌疑人而言，在检察院提审时应当如实陈述案件事实，积极配合调查工作。同时，嫌疑人也有权提出自己的意见和辩解，维护自己的合法权益。如果嫌疑人对提审过程或结果有异议，可以在法律规定的期限内提出申诉或控告。
可能法律后果：
如果检察院在提审过程中发现案件事实清楚、证据确实充分，且嫌疑人构成犯罪，可能会依法提起公诉，将案件移送至法院进行审判。
如果检察院在提审过程中发现案件事实不清、证据不足，或者嫌疑人无罪，可能会作出不起诉决定，释放嫌疑人或者撤销案件。
如果嫌疑人在提审过程中提出申诉或控告，且经查证属实，检察院可能会依法纠正错误处理决定，保障嫌疑人的合法权益。
总之，检察院在嫌疑人被关押后进行提审是履行审查起诉职责的重要环节。嫌疑人应当积极配合提审工作，如实陈述案件事实，维护自己的合法权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。