伪造国家机关公章红印是违法的，且可能构成犯罪。以下是对此问题的详细分析：

一、法律依据与刑罚规定

根据《中华人民共和国刑法（2023修正）》第二百八十条第一款的规定，伪造、变造、买卖或者盗窃、抢夺、毁灭国家机关的公文、证件、印章的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利，并处罚金；情节严重的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金。这一条款明确规定了伪造国家机关印章行为的违法性，并设定了相应的刑罚。

二、犯罪构成要件

1. 客体：本罪侵犯的是国家机关的正常管理活动和信誉。国家机关的印章是其行使管理职能的重要凭证和手段，任何伪造行为都会对其造成损害。
2. 客观方面：表现为非法制作国家机关印章的行为。这里的“伪造”指的是无制作权的人冒用名义，非法制作国家机关印章。只要实施了伪造行为，不论目的如何，也不论是否完成或造成实际危害后果，原则上即构成犯罪。
3. 主体：本罪的主体为一般主体，即达到法定刑事责任年龄、具有刑事责任能力的自然人均可构成本罪。
4. 主观方面：本罪只能出于直接故意构成，间接故意和过失不构成该罪。即行为人明知自己伪造的是国家机关印章，且希望或放任这种结果的发生。

三、情节认定与处罚

1. 情节较轻：如果伪造国家机关公章红印的行为情节较轻，如伪造次数较少、未造成实际危害后果或危害后果显著轻微等，可能不构成犯罪，但会受到治安管理处罚。依据《中华人民共和国治安管理处罚法》第五十二条，对于伪造、变造或者买卖国家机关、人民团体等组织的公文、证件、证明文件、印章的行为，若情节较轻，将处以十日以上十五日以下拘留，并可并处一千元以下罚款；情节更轻的，则处五日以上十日以下拘留，并可并处五百元以下罚款。
2. 情节严重：如果伪造国家机关公章红印的行为情节严重，如多次伪造、伪造重要国家机关的印章、因伪造行为给国家、集体或他人造成较大损失或恶劣社会影响等，则构成犯罪，将受到刑法的严厉处罚。根据刑法的规定，情节严重的伪造国家机关印章行为，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金。

四、实际案例与法律建议

以实际案例为例，如果某人为了获取非法利益，私自伪造了某市政府部门的印章，并利用该印章制作虚假文件进行商业活动，非法获利数十万元。该行为明显构成了伪造国家机关印章罪，因其不仅非法制作了国家机关印章，还利用该印章进行了商业活动，获取了非法利益，严重破坏了国家机关的公信力和管理秩序。

法律建议：

• 增强法律意识：广大公众应增强法律意识，了解伪造国家机关印章行为的违法性和严重性，避免触碰法律底线。
• 遵守法律法规：在日常生活中，应严格遵守法律法规，不得擅自伪造或使用伪造的国家机关印章。
• 及时咨询与处理：如果发现自己或他人涉及伪造国家机关印章的行为，应及时向相关部门报告并咨询专业律师（即我本人，李肖峰律师），以便更好地了解相关的法律责任和风险，并采取相应的法律措施。

综上所述，伪造国家机关公章红印是违法的，且可能构成犯罪。因此，建议广大公众务必遵守法律法规，不要触碰法律的底线。如有任何法律问题或疑虑，可以直接向我咨询。