公司在以下特定情况下开除员工无需支付赔偿，但必须确保行为符合相关法律法规，并拥有充分证据支持其决定：
员工在试用期内被证明不符合录用条件
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第一项，公司在招聘时需明确具体的录用条件，如学历、专业技能等，并在员工入职时让其知晓。若员工在试用期间被证明不符合这些条件，如无法完成基本工作任务且经培训或调整岗位后仍无法胜任，公司可解除劳动合同且无需赔偿。
- 举例：公司招聘程序员要求熟练掌握特定编程语言，而员工在试用期内无法运用该语言完成基本任务，经考核评估后，公司可依法解除劳动合同且不支付赔偿。
员工严重违反用人单位的规章制度
- 法律依据：同样依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第二项，规章制度需通过民主程序制定，不违反法律法规，并已向劳动者公示。员工若多次旷工、泄露公司机密等行为，构成严重违反规章制度，公司可解除劳动合同且无需赔偿。
- 举例：公司规定严禁在工作场所吸烟，员工多次违规且无视警告，公司可依法开除且不给予赔偿。
员工严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第三项，员工因玩忽职守、敷衍塞责等严重失职行为，或因利用职务之便谋取私利等营私舞弊行为，给公司造成重大损害（如巨额经济损失），公司可解除劳动合同且无需赔偿。
- 举例：财务人员未按规定审核资金导致巨额损失，或销售人员为个人业绩故意压低产品价格，公司可依法开除且不支付赔偿。
员工同时与其他用人单位建立劳动关系，严重影响本单位工作任务，且拒不改正
- 法律依据：依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第四项，员工若同时与其他单位建立劳动关系，对本单位工作任务造成严重影响，或经公司提出后拒不改正（如在本单位工作的同时在竞争对手处兼职），公司可解除劳动合同且无需赔偿。
- 举例：员工在A公司担任设计师的同时私下与B公司建立劳动关系，导致A公司任务无法按时完成，A公司可依法解除劳动合同且不支付赔偿。
员工以欺诈、胁迫手段订立或变更劳动合同，导致劳动合同无效
- 法律依据：结合《中华人民共和国劳动合同法》第二十六条第一款第一项及第三十九条第五项，若员工以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使公司在违背真实意思的情况下订立或变更劳动合同（如提供虚假学历证书、工作经历等骗取录用），导致劳动合同无效，公司可解除劳动合同且无需赔偿。
- 举例：员工伪造学历证书和工作经验应聘，用人单位发现后可依法解除劳动合同且不支付经济补偿。
员工被依法追究刑事责任
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第六项，员工若被人民法院判处刑罚（包括主刑和附加刑），或被依据《中华人民共和国刑法》免予刑事处罚，公司可解除劳动合同且无需赔偿。
- 举例：员工因涉嫌盗窃罪被依法逮捕并判处有期徒刑，公司可依法解除劳动合同且不支付经济补偿。
注意事项：
- 在解除劳动合同时，公司必须确保其行为符合相关法律法规，避免歧视、压迫或报复行为。
- 公司需拥有明确且充分的证据以证实上述情况确实发生，如试用期考核记录、规章制度文本、员工违规行为的记录及证据、财务损失报告、事故调查报告、其他单位的工作证明、考勤记录、法院的判决文书等，否则可能面临法律风险。
建议：
- 公司在制定规章制度时，应确保内容合法、程序民主，并向劳动者公示，以便在需要时作为解除劳动合同的依据。
- 在解除劳动合同前，公司应充分收集证据，确保解除行为的合法性和合理性。
- 若公司对解除劳动合同的法律后果存在疑问，或需要进一步的法律指导，可以直接向我咨询，我将根据具体情况提供专业的法律意见。