结论：在法院判决书下来后，被告没有完全履行还款义务，剩余1万8千元未还且已到期的情况下，您完全可以申请强制执行。
法律背景与依据
根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当一方当事人不履行人民法院生效法律文书所确定的义务时，另一方当事人有权向人民法院申请强制执行。这里的“生效法律文书”就包括了法院作出的判决书。因此，在您的情况下，由于被告没有按照判决书的要求完全履行还款义务，您作为原告，有权向法院申请强制执行剩余的款项。
申请强制执行的流程
准备申请材料：您需要准备强制执行申请书、生效的判决书原件或复印件、您的身份证明以及被告的财产线索（如果可能的话）。强制执行申请书应当写明申请执行的请求、事实和理由，以及您所了解的被告的财产状况。
提交申请：将准备好的申请材料提交给作出判决书的法院的执行局。法院在收到您的申请后，会进行审查，并在一定期限内决定是否受理。
执行过程：如果法院受理了您的申请，它会向被告发出执行通知书，责令被告在指定的期限内履行义务。如果被告仍然不履行，法院可以采取多种执行措施，如查封、扣押、拍卖被告的财产，或者将被告纳入失信被执行人名单等。
注意事项
申请执行的期限：根据法律规定，申请执行的期间为二年。这个期限从法律文书规定履行期间的最后一日起计算；如果法律文书规定分期履行的，从规定的每次履行期间的最后一日起计算；如果法律文书未规定履行期间的，从法律文书生效之日起计算。因此，您需要确保在规定的期限内申请执行。
提供财产线索：虽然法院在执行过程中会依法查询被告的财产状况，但如果您能提供一些有价值的财产线索，如被告的银行账户、房产、车辆等，将有助于法院更快地找到并执行被告的财产。
执行风险：虽然申请强制执行是您的合法权利，但执行结果并不总是能完全满足申请人的期望。如果被告确实没有可供执行的财产，或者财产不足以清偿全部债务，那么您可能需要接受部分履行或者无法执行的结果。在这种情况下，您可以考虑与被执行人协商分期履行或者寻求其他救济途径。
如果您在申请强制执行的过程中遇到任何问题或者需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会根据您的具体情况，为您提供更详细、更专业的法律建议。