刑事案件拘留过程中，若存在打人行为，需根据具体情况判断其性质及法律后果，结论前置如下：

1. 若打人行为构成犯罪，可能面临刑事拘留及后续刑事处罚：在刑事案件拘留期间，若被拘留人实施打人行为，且该行为达到刑事犯罪标准（如故意伤害罪，造成他人轻伤及以上伤害），则公安机关可依法对其采取刑事拘留措施。刑事拘留是临时性的强制措施，旨在保障刑事诉讼的顺利进行，但并不意味着被拘留人一定构成犯罪，后续会根据侦查情况决定是否进一步追究刑事责任。

2. 若打人行为未构成犯罪，可能面临行政处罚：若打人行为情节较轻，未达到刑事犯罪标准，但违反了治安管理规定，则可能面临行政处罚，包括行政拘留、罚款等。行政拘留是针对一般违法行为的处罚措施，与刑事拘留性质不同。

详细分析如下：

一、刑事拘留与打人行为构成犯罪的情况

在刑事案件拘留期间，若被拘留人实施打人行为，且该行为构成犯罪，如故意伤害罪，则公安机关可依据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，对其采取刑事拘留措施。故意伤害罪的构成要求造成他人轻伤及以上伤害，具体伤情需由专业法医进行鉴定。若打人行为确实构成犯罪，且存在刑事拘留的必要性（如正在实施犯罪、被害人或目击者指认、发现犯罪证据等），则公安机关可依法先行拘留。

二、行政拘留与打人行为未构成犯罪的情况

若打人行为情节较轻，未达到刑事犯罪标准，但违反了治安管理规定，如《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十三条的规定，殴打他人或故意伤害他人身体的，则可能面临行政处罚。行政处罚包括警告、罚款、行政拘留等，具体处罚措施根据打人行为的情节轻重及造成的后果而定。例如，若打人行为造成轻微伤，通常受到治安管理处罚，可能面临五日以上十日以下拘留及罚款；若情节较轻，则可能处五日以下拘留或者五百元以下罚款。

三、特殊情况的考虑

• 民间纠纷引起的打架斗殴：在处理此类案件时，公安机关会注重调解和化解矛盾，尽量通过调解达成协议，避免矛盾升级。若经调解达成协议并履行，则可能不予处罚或从轻处罚。
• 袭击警察或使用危险工具：若打人行为针对警察或使用危险工具实施，则可能面临更严厉的惩罚，包括更长的拘留期限及更高的罚款金额。
• 不执行行政拘留的情形：根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第二十一条的规定，对于已满十四周岁不满十六周岁、已满十六周岁不满十八周岁初次违反治安管理、七十周岁以上、怀孕或哺乳自己不满一周岁婴儿的人，不执行行政拘留处罚。

法律建议：

• 若您或他人涉及刑事案件拘留期间的打人行为，建议立即咨询专业律师，以准确判断行为性质及法律后果，并获取有效的法律援助。
• 在处理此类案件时，应积极配合公安机关的调查工作，如实陈述事实，提供相关证据，以便公安机关准确判断案件性质及适用法律。
• 若打人行为确实构成犯罪，应主动承担法律责任，积极赔偿被害人损失，争取从轻处罚。

可能面临的法律后果：

• 若打人行为构成犯罪：可能面临刑事处罚，包括有期徒刑、拘役、管制等，具体刑罚根据犯罪情节及造成的后果而定。
• 若打人行为未构成犯罪：可能面临行政处罚，包括行政拘留、罚款等，具体处罚措施根据打人行为的情节轻重及造成的后果而定。

总结：刑事案件拘留过程中若存在打人行为，其性质及法律后果需根据具体情况判断。若您或他人涉及此类案件，请务必咨询专业律师以获取准确的法律意见和有效的法律援助。