作为有丰富法律实务经验的律师，我来为你详细分析这个问题。法院对于对方公司名义起诉又不提交材料的情况，通常会根据不同阶段和具体情况进行如下处理：

1. 立案阶段
   在立案审查时，法院会重点审查起诉状及基本证据材料。若对方公司仅提交起诉状但未附关键证据（如合同、履约凭证等），法院会依据《民事诉讼法》第122条要求其补正材料。若经催告后仍不提交，法院将作出不予受理裁定，此时对方公司需在10日内上诉或重新准备材料起诉。

2. 审理阶段
   若案件已立案进入审理程序，被告可提出证据突袭抗辩。根据《民事诉讼法》第68条，当事人应在举证期限内提交证据。若对方公司当庭才提交核心材料，你作为被告可要求法院不予采纳或申请延期质证。若法院未经质证直接采纳，属于程序违法，二审可据此发回重审。

3. 特殊情形处理

   • 公告送达案件：若对方公司故意不提交材料导致送达困难，法院可依据《民事诉讼法》第95条进行公告送达。但公告期满后仍不提交证据的，法院将依据现有材料缺席判决，此时你需重点审查判决是否超出对方诉请范围。
     
   • 涉外案件：若涉及境外主体，法院会适用《海事诉讼特别程序法》等相关规定，要求对方公司提交经公证认证的材料，否则可能直接驳回起诉。

实务建议：

1. 收到起诉材料后，立即向法院提交《证据交换申请书》，要求对方在指定期限内提交完整证据
   
2. 若对方逾期不交，及时提交《证据不足答辩状》，引用《民事诉讼证据规定》第48条主张对方承担举证不能后果
   
3. 关注法院送达程序，若发现对方故意留错地址导致送达失败，可申请适用电子送达或要求法院上门送达

需要特别提醒的是，不同地区法院对证据提交的要求存在差异，比如上海法院推行”要素式审判”，要求起诉时即提交完整证据清单。建议将对方起诉状及你收到的法院通知材料拍照发我，我可以帮你具体分析应对策略。