当发现续签的劳动合同中名字写错了，这是一个需要及时解决的问题。以下是根据相关法律法规及实践经验提供的详细处理办法：

首先，您应与用人单位进行协商，寻求更正错误的方式。这里有几种可能的解决方案：

1. 签订补充协议：

   • 与用人单位达成一致后，可以签订一份补充协议。
   • 补充协议中需要明确指出原合同中名字的错误，并注明正确的名字。
   • 经双方签字或盖章确认后，补充协议与原劳动合同具有同等法律效力。

2. 直接在原合同上修改：

   • 如果错误发现及时，且合同尚未深入履行，可以在双方同意的情况下直接在原合同上进行修改。
   • 修改处需要由双方签字或盖章确认，以确保修改的合法性。
   • 为避免未来可能的纠纷，建议在修改处加盖用人单位的印章及劳动者的手印。

3. 重新签订劳动合同：

   • 如果名字错误可能引发对合同其他重要条款的误解，或者双方认为补充协议或直接修改不足以解决问题，可以考虑重新签订劳动合同。
   • 在重新签订合同时，需要再次确认和协商合同的各项条款，并在新合同中明确注明其是对原错误合同的替换。
   • 新合同的签订程序必须符合法律规定，以保障双方的合法权益。

无论采取哪种方式处理名字错误问题，都应妥善保存相关证据。这些证据包括但不限于补充协议的原件、在原合同上修改的复印件、重新签订合同的过程记录以及用人单位出具的证明文件等。这些证据在日后发生劳动纠纷时，将作为证明双方已妥善处理名字错误问题的重要依据。

如果用人单位不认可名字错误的事实或拒绝更正，您可以向当地劳动监察部门投诉或寻求法律援助。在这种情况下，保留好所有相关证据将尤为重要。

最后，需要强调的是，劳动合同是保障劳动者权益的重要法律文件，其准确性和完整性至关重要。因此，在签订劳动合同时，请务必仔细核对个人信息，确保无误。一旦发现名字写错，应及时与用人单位沟通并采取上述措施进行更正。