结论：在家庭成员患大病期间，用人单位一般不可以随意辞退劳动者，但存在特定情形除外。以下从不同角度为你详细分析：

法律对特殊时期劳动者保护的相关规定

根据《劳动合同法》第四十二条的规定，劳动者有下列情形之一的，用人单位不得依照本法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同，其中就包括“在本单位患职业病或者因工负伤并被确认丧失或者部分丧失劳动能力的”以及“患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的”。虽然这里没有直接提及家庭成员患大病的情况，但我们可以从法律精神来理解。法律设置这些条款，是为了保障劳动者在面临特殊困难和身体状况不佳时，不会轻易失去工作，维持基本的生活保障。家庭成员患大病，劳动者往往需要花费大量的时间和精力去照顾，经济上也会面临较大压力，此时劳动者处于相对弱势的地位，法律倾向于对其进行保护。

医疗期与辞退的关系

如果劳动者本人患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内，用人单位不能辞退劳动者。医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。医疗期的长度根据劳动者本人实际参加工作年限和在本单位工作年限来确定，一般为三个月到二十四个月。例如，实际工作年限十年以下的，在本单位工作年限五年以下的为三个月；五年以上的为六个月。在医疗期内，用人单位应按照规定支付劳动者病假工资或者疾病救济费，并且不得解除劳动合同。虽然这是针对劳动者本人患病的情况，但家庭成员患大病时，劳动者可能需要请假照顾，如果用人单位以此为由辞退劳动者，可能违反了法律保护劳动者特殊时期权益的精神。

可能的例外情形

1. 劳动者存在严重过错：如果劳动者在家庭成员患大病期间，存在严重违反用人单位规章制度的行为，如旷工达到一定天数、严重失职给用人单位造成重大损害等，用人单位可以依据《劳动合同法》第三十九条的规定解除劳动合同。例如，劳动者未经批准连续旷工超过十五天，用人单位可以解除劳动合同，且不需要支付经济补偿。
2. 用人单位经济性裁员：在某些特殊情况下，用人单位可能面临经营困难等经济性问题，需要进行经济性裁员。但即使在这种情况下，用人单位也需要遵循一定的程序和条件。根据《劳动合同法》第四十一条的规定，用人单位需要提前三十日向工会或者全体职工说明情况，听取工会或者职工的意见后，裁减人员方案经向劳动行政部门报告，才可以裁减人员。而且，对于一些特殊情况的劳动者，如在本单位连续工作满十五年，且距法定退休年龄不足五年的，用人单位不得进行经济性裁员。

法律后果

如果用人单位在家庭成员患大病期间违法辞退劳动者，劳动者可以采取以下措施维护自己的合法权益：

1. 与用人单位协商：劳动者可以与用人单位进行沟通，要求用人单位继续履行劳动合同或者支付违法解除劳动合同的赔偿金。赔偿金的标准是按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
2. 申请劳动仲裁：如果协商不成，劳动者可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。劳动仲裁是解决劳动争议的重要途径，仲裁委员会会根据双方提供的证据和法律规定进行裁决。
3. 提起诉讼：对劳动仲裁裁决不服的，劳动者可以向人民法院提起诉讼。

如果你遇到家庭成员患大病期间被辞退的情况，或者有其他劳动工伤方面的法律问题，都可以直接向我咨询。