结论：老人诽谤子女，子女可以报警，但报警后公安机关的处理方式及后续法律途径需视具体情况而定。以下从多个角度进行详细分析：

一、报警的法律依据与可行性

根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款；情节较重的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款。因此，如果老人存在公然侮辱或捏造事实诽谤子女的行为，子女完全有权向公安机关报警。

二、报警后的处理流程

1. 受理与调查：公安机关在接到报警后，会依法进行受理，并展开调查。这包括询问当事人、收集证据等环节，以确定是否存在违法行为。
2. 处理决定：根据调查结果，公安机关会依法作出处理决定。如果认定老人存在违法行为，且情节较轻，可能会给予警告、罚款或行政拘留等处罚；如果情节严重，构成犯罪的，则会依法追究刑事责任。不过，在实际操作中，对于家庭成员之间的轻微诽谤行为，公安机关可能会倾向于调解处理，以维护家庭和谐。
3. 执行与监督：公安机关作出的处理决定具有法律效力，必须依法执行。同时，当事人也有权对处理决定提出异议或申请复议。

三、后续法律途径

1. 民事诉讼：如果子女认为老人的诽谤行为给自己造成了名誉损害或其他经济损失，还可以向人民法院提起民事诉讼，要求老人承担民事责任，如赔偿损失、恢复名誉等。
2. 刑事自诉：在特定情况下，如果老人的诽谤行为构成犯罪（如诽谤罪），且情节严重，子女还可以选择向人民法院提起刑事自诉，要求追究老人的刑事责任。不过，需要注意的是，刑事自诉需要满足一定的条件，如证据充分、情节严重等。

四、特殊情况与建议

1. 家庭和谐考虑：在处理此类问题时，应充分考虑家庭和谐的因素。如果可能的话，建议通过家庭内部沟通、调解等方式解决问题，以避免矛盾升级和家庭关系破裂。
2. 证据收集：无论选择报警还是提起诉讼，都需要有充分的证据来支持自己的主张。因此，在发现老人有诽谤行为时，子女应及时收集相关证据，如聊天记录、录音录像等。
3. 法律咨询：由于法律问题具有复杂性和专业性，建议在处理此类问题时咨询专业律师的意见。律师可以根据具体情况提供针对性的法律建议和帮助。

总结来说，老人诽谤子女时，子女可以报警并寻求法律途径维护自己的权益。但在处理过程中，应充分考虑家庭和谐的因素，并尽可能收集充分的证据来支持自己的主张。如有需要，可以随时向我咨询相关法律问题。