结论：在因民间纠纷打断对方三根肋骨的情况下，和解赔偿的合适阶段主要取决于案件的具体进展和双方当事人的意愿，但通常来说，在刑事立案前或刑事诉讼过程中（尤其是检察院审查起诉阶段）进行和解赔偿是较为合适的选择。以下从不同角度进行详细分析：
一、刑事立案前和解赔偿
法律背景：
- 在刑事立案前，如果双方能够就赔偿事宜达成一致，并签订和解协议，这有助于缓解社会矛盾，促进和谐社会的构建。
- 根据《刑事诉讼法》的相关规定，对于民间纠纷引起的轻微刑事案件，如果双方当事人能够和解，公安机关可以不予立案，或者撤销案件。
优势：
- 避免刑事责任：在刑事立案前达成和解，有可能避免加害方被追究刑事责任，从而减轻其法律后果。
- 快速解决纠纷：双方可以迅速就赔偿事宜达成一致，避免长时间的诉讼过程，节省时间和精力。
注意事项：
- 和解协议的合法性：和解协议必须合法、有效，不得违反法律法规的强制性规定。
- 赔偿金额的合理性：赔偿金额应当合理，能够充分弥补受害方的损失，同时也不应过高或过低，以免引发新的纠纷。
二、刑事诉讼过程中和解赔偿
法律背景：
- 在刑事诉讼过程中，如果双方当事人能够达成和解，法院在量刑时会予以考虑，可能对加害方从轻或减轻处罚。
- 特别是在检察院审查起诉阶段，如果双方达成和解，检察院可以作出不起诉决定，或者向法院提出从宽处理的建议。
优势：
- 减轻刑事责任：在刑事诉讼过程中达成和解，有可能减轻加害方的刑事责任，甚至避免被起诉。
- 保障受害方权益：和解赔偿可以确保受害方得到及时、充分的赔偿，维护其合法权益。
注意事项：
- 和解的时机：在刑事诉讼过程中，和解的时机选择很重要。过早和解可能无法充分了解案件情况，过晚和解则可能错过从轻或减轻处罚的机会。
- 和解协议的履行：和解协议签订后，加害方应当按照协议约定履行赔偿义务，否则可能面临法律后果。
三、具体操作建议
- 及时咨询律师：在发生纠纷后，双方应及时咨询专业律师，了解相关法律规定和和解赔偿的可能性。
- 评估案件情况：律师应协助双方评估案件情况，包括伤情鉴定、责任划分等，为和解赔偿提供依据。
- 签订和解协议：在双方达成一致后，应签订书面和解协议，明确赔偿金额、支付方式、履行期限等条款。
- 履行和解协议：加害方应按照协议约定履行赔偿义务，确保受害方得到及时、充分的赔偿。
最后，需要强调的是，和解赔偿虽然可以避免或减轻刑事责任，但并不意味着加害方可以逃避法律制裁。如果加害方的行为构成犯罪，且不符合和解条件或和解后未履行赔偿义务，仍然可能面临刑事追究。因此，在处理此类纠纷时，建议双方保持理性、冷静的态度，通过合法途径解决纠纷。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。